Boyutlari $2,2,7,7,11,11$ olan altigeni cevreleyen cemberin yari capi kactir?

Question

 (Sekildeki gibi) Boyutlari $2,2,7,7,11,11$ olan altigeni cevreleyen cemberin yari capi kactir?

Comments

Hocam ben şu şekilde düşündüm ama bir noktadan sonra tıkandım.

 

$2.(a+b+c)=360$ ise $a+b+c=180$

$4=r^2+r^2-2.r.r.cos(c)$

$49=r^2+r^2-2.r.r.cos(a)$

$121=r^2+r^2-2.r.r.cos(b)$ bunların hepsini toplarsak.

$174=6r^2-2r^2.(cos(a)+cos(b)+cos(c))$

$a+b+c=180$ olduğunuda bilerek bu denklem çözülebilir mi?

---

Belki hepsi su sekilde yazilirsa gelebilir: $\cos c=\frac{4-2r^2}{2r^2}$.

Sonra da $\cos(a+b)=-\cos(c)$ esitligi.

---

boylarıyla açılar orantılı mıydı bir şekilde? 

---

ucgenler icin $\sin$ teoreminden mi bahsediyorsun?

---

evet, unutmuştum. ama elimizde $cos$ varmış yine uğraştırır

---

$\cos$ var ise $\sin$ de vardir.

Answer 1

 .......................

Comments

Bu çözümü hangi proğramla yaptınız? Bunu bilmeden bu soru çözülemez mi? Asıl amaç ne?

---

Mathematica ile yapildi. Cozulebilir. Merak..

Answer 2

Çemberin yarıçapını bozmadan, kirişler çokgeninin kenarlarının sırasını değiştirmek mümkündür. Hatta bu sıra değişikliği çokgenin alanını da değiştirmez. Buna göre aşağıdaki çizimi yapalım:

Simetriden dolayı $|AD|=2r$ çap olur. Çapı gören çevre açılardan $m(\widehat{ABD})= m(\widehat{ACD})=90^\circ $ olur. Pisagor teoreminden $|BD|=\sqrt{4r^2-7^2 }$ ve $|AC|=\sqrt{4r^2-2^2 }$ olur. Ayrıca $ABCD$ kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremi olarak bilinen, köşegenlerin uzunluklarının çarpımı, karşılıklı kenar uzunluklarının çarpımına eşittir kuralını uygularsak $|AC|\cdot |BD| = |AD|\cdot |BC| + |AB|\cdot |CD| $ olup $$ \sqrt{4r^2-2^2}\cdot  \sqrt{4r^2-7^2 } = 2r\cdot 11 + 2\cdot 7 $$ denklemi elde edilir. Her iki tarafın karesini alırsak

          $(4r^2-2^2)(4r^2-7^2) = (22r + 14)^2$

$\implies 16r^4 -4\cdot 53 r^2 + 2^2\cdot 7^2 = 4\cdot 121r^2 + 4\cdot 11 \cdot 14 r + 14^2$

$\implies 2r^4-87r^2-77r=0$

$\implies r(2r^3 -87r -77)=0$ olur. $r>0$ olduğunu göz önüne alarak 

          $2r^3 - 98r +11r -77=0$ yazılabilir. Çarpanlara ayırarak

$\implies 2r(r^2 -49)+ 11(r-7)=0$

$\implies (r-7)(2r^2 + 7r +11)=0$

elde ederiz. $2r^2 + 7r +11=0$ denkleminin kökleri negatiftir. Dolayısıyla tek çözüm $r=7$ olur.