Boyutlari $2,2,7,7,11,11$ olan altigeni cevreleyen cemberin yari capi kactir?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
104 kez görüntülendi

 (Sekildeki gibi) Boyutlari $2,2,7,7,11,11$ olan altigeni cevreleyen cemberin yari capi kactir?





image

25, Eylül, 2015 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Sercan (23,864 puan) tarafından  soruldu
26, Kasım, 26 alpercay tarafından düzenlendi

Hocam ben şu şekilde düşündüm ama bir noktadan sonra tıkandım.

image 

$2.(a+b+c)=360$ ise $a+b+c=180$

$4=r^2+r^2-2.r.r.cos(c)$

$49=r^2+r^2-2.r.r.cos(a)$

$121=r^2+r^2-2.r.r.cos(b)$ bunların hepsini toplarsak.

$174=6r^2-2r^2.(cos(a)+cos(b)+cos(c))$

$a+b+c=180$ olduğunuda bilerek bu denklem çözülebilir mi?

Belki hepsi su sekilde yazilirsa gelebilir: $\cos c=\frac{4-2r^2}{2r^2}$.

Sonra da $\cos(a+b)=-\cos(c)$ esitligi.

boylarıyla açılar orantılı mıydı bir şekilde? 

ucgenler icin $\sin$ teoreminden mi bahsediyorsun?

evet, unutmuştum. ama elimizde $cos$ varmış yine uğraştırır

$\cos$ var ise $\sin$ de vardir.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
image  .......................


25, Eylül, 2015 Okkes Dulgerci (1,455 puan) tarafından  cevaplandı
26, Eylül, 2015 Okkes Dulgerci tarafından düzenlendi

Bu çözümü hangi proğramla yaptınız? Bunu bilmeden bu soru çözülemez mi? Asıl amaç ne?

Mathematica ile yapildi. Cozulebilir. Merak..

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Çemberin yarıçapını bozmadan, kirişler çokgeninin kenarlarının sırasını değiştirmek mümkündür. Hatta bu sıra değişikliği çokgenin alanını da değiştirmez. Buna göre aşağıdaki çizimi yapalım:

image

Simetriden dolayı $|AD|=2r$ çap olur. Çapı gören çevre açılardan $m(\widehat{ABD})= m(\widehat{ACD})=90^\circ $ olur. Pisagor teoreminden $|BD|=\sqrt{4r^2-7^2 }$ ve $|AC|=\sqrt{4r^2-2^2 }$ olur. Ayrıca $ABCD$ kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremi olarak bilinen, köşegenlerin uzunluklarının çarpımı, karşılıklı kenar uzunluklarının çarpımına eşittir kuralını uygularsak $|AC|\cdot |BD| = |AD|\cdot |BC| + |AB|\cdot |CD| $ olup $$ \sqrt{4r^2-2^2}\cdot  \sqrt{4r^2-7^2 } = 2r\cdot 11 + 2\cdot 7 $$ denklemi elde edilir. Her iki tarafın karesini alırsak

          $(4r^2-2^2)(4r^2-7^2) = (22r + 14)^2$

$\implies 16r^4 -4\cdot 53 r^2 + 2^2\cdot 7^2 = 4\cdot 121r^2 + 4\cdot 11 \cdot 14 r + 14^2$

$\implies 2r^4-87r^2-77r=0$

$\implies r(2r^3 -87r -77)=0$ olur. $r>0$ olduğunu göz önüne alarak 

          $2r^3 - 98r +11r -77=0$ yazılabilir. Çarpanlara ayırarak

$\implies 2r(r^2 -49)+ 11(r-7)=0$

$\implies (r-7)(2r^2 + 7r +11)=0$

elde ederiz. $2r^2 + 7r +11=0$ denkleminin kökleri negatiftir. Dolayısıyla tek çözüm $r=7$ olur.

23, Kasım, 23 lokman gökçe (507 puan) tarafından  cevaplandı
...