Sayılar

Question

$a,b,c$ sıfırdan farklı gerçel sayılar olduğuna göre

$\left( \frac{b}{x}+1+\frac{x}{c} \right)^{-1}+\left(\frac{c}{x}+1+\frac{x}{a}\right)^{-1}+\left(\frac{a}{x}+1+\frac{x}{b}\right)^{-1}=1$ denklemini çözünüz.

Comments

$x$=$a$=$b$=$c$ için sağlıyor ama beklediğiniz cevap bu değil heralde.

Answer 1

Denklemin değişkeninin $x$ olduğunu varsayıyorum.

Verilen eşitlikte her bir parantezin içinde payda eşitlemesi yapılırsa:

$\frac{cx}{bc+cx+x^2}+\frac{ax}{ac+ax+x^2}+\frac{bx}{ab+bx+x^2} =1$ elde edilir. Bir kez daha payda eşitlemesi yapılır, uzun süren düzenlemeler ve gereken sadeleştirmeler yapılrsa,

$x^6-3a.b.c.x+a^2.b^2.c^2=0$ bulunur. Bu denklem de $x^3=m$ dönüşümü ile $m^2-3abcm-a^2b^2c^2=0$ haline gelir. Buradan   $m_{1,2}=\frac{abc(3\mp\sqrt5)}{2}$     bulunur ve sonuç olarak ;

$x=\left[\frac{abc(3\pm\sqrt5)}{2}\right]^{1/3}$ olur.