Rasyonel fonksiyonlar için Ostrovski teoremi

3 beğenilme 0 beğenilmeme
133 kez görüntülendi

$K$ bir cisim $K(X)$ de $K$ üzerine tek değişkenli rasyonel fonksiyonlar cismi olsun. $f$ bu cisim içerisinde herhangi bir polinom olsun. Başka bir $g$ fonksiyonu için $v_f(g)$ değerini şu şekilde tanımlayalım: $f$'nin $g$'yi bölen en yüksek gücü $f^n$ ise $v_f(g)=n$ olsun. Bunu bütün rasyonel fonksiyonlara $$v_f(\frac{g}{h})=v_f(g)-v_f(h)$$ biçiminde genişletebiliriz.


Soru 1. $v_f$'in $K[X]$ üzerinde bir değerlendirme tanımladığını ispatlayın.

Soru 2. $v_f$'in $K(X)$ yukarıdaki gibi genişletilmesinin iyi tanımlı olduğunu gösterin.

Soru 3. $\varphi\longmapsto |\varphi|_f:=2^{-v_f(\varphi)}$ fonksiyonunun $K(X)$ üzerinde bir mutlak değer tanımladığını gösterin.

Soru 4. Bu mutlak değerin Arşimet tipi olmadığını gösterin.

Soru 5. $K$ üzerinde $1$ değeri alan bütün mutlak değerlerin düzgün seçilmiş bir $f$ için $|\cdot|_f$ biçiminde olduğunu gösterin.

Soru 6. Soru 5'teki hatayı bulun. Bir tane mutlak değeri yakalayamazsınız aslında. İpucu olarak Rasyonel sayılar için Ostrovski'yi düşünebilirsiniz. Bu soruda verilmiş mutlak değerler rasyonel sayılardaki $p$-sel mutlak değerlere denk gelir. Ama biliyoruz ki $p$-sel olmayan bir metrik de var rasyonel sayılarda. Hepsi $p$-sel metriktir desek bir metriği (tabii modulo denklik) kaçırırdık.

18, Eylül, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,408 puan) tarafından  soruldu

ufaktan ilgili link.

...