Question

$$\lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)...(n+n)}}{n}=?$$

Answer 1

$a_n=\frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}{n^n}$ olarak tanimlayalim. $lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{4+\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}})(1-\frac{1}{n+1})^n=\frac{4}{e}$. o zaman $lim_{n \rightarrow \infty} (a_n)^{1/n}=\frac{4}{e}$. Bu da bizim istedigimiz limit.

Answer 2

$a_{n}=\dfrac {\left( n+1\right)\left( n+2\right) \ldots \left( n+n\right) } {n^{n}}$ olarak aldığımızda 

$1\leq \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sqrt [n] {\left( n+1\right) \left( n+2\right) \ldots \left( n+n\right) }} {n}\leq 2$ arasında olmalıdır. 

$\dfrac {a_{n+1}} {a_{n}}=\dfrac {\left( n+2\right) \left( n+3\right) \ldots \left( 2n\right) \left( 2n+1\right) \left( 2n+2\right) } {\left( n+1\right) \left( n+2\right) \ldots \left( 2n\right) }\dfrac {n^{n}} {\left( n+1\right) ^{n+1}}$ 

$=\dfrac {\left( 4n+2\right) } {n}\left( 1-\dfrac {1} {n+1}\right) ^{n+1}$    buradan  $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {a_{n+1}} {a_{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\left( 4n+2\right) } {n}\left( 1-\dfrac {1} {n+1}\right) ^{n+1}=\dfrac {4} {e}$ olduğundan $\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n] {a_{n}}=\dfrac {4} {e}$ dir.

Şu şekilde de düşünebiliriz aslında 

$a_{n}=\dfrac {\left( n+1\right)\left( n+2\right) \ldots \left( n+n\right) .n!} {n^{n}.n!}=\dfrac {\left( 2n\right) !} {n^{n}.n!}$  olduğu göz önüne alınıp aynı işlemler yapılabilirdi. 

Comments

evet dogru cozumu bu olmus. son esitlik de kcuk bir hata olmus gibi.

---

Sercan hocam tam olarak hangisinde hata var? 

---

$(4n+2)/n$ olan esitlik kisminda galiba. 

---

$\dfrac {a_{n+1}} {a_{n}}$ oranın sayısal değerlerine bakınca bu eşitlik gözüküyor.. En son $a_{n}$ için verilen eşitlikte $\dfrac {a_{n+1}} {a_{n}}$  ifadesinin sonucu bu yazdığımı getiriyor.

---

benim 4 islemim cidden iyi degil ama daha da orasi (2n+1)(2n+2)/n(n+1) olacakmis gibi. vaktini de aliyorum ama.

---

Yok vaktimi almıyorsunuz. Doğru düşünüyorsunuz aslında fakat dizinin o kısmında  kendinden önce gelen ifadenin bir fazlasının çarpımı şeklinde devam ediyor.