Processing math: 0%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi
\lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)...(n+n)}}{n}=?
Lisans Matematik kategorisinde (1.8k puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 1.1k kez görüntülendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
a_n=\frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}{n^n} olarak tanimlayalim. lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{4+\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}})(1-\frac{1}{n+1})^n=\frac{4}{e}. o zaman lim_{n \rightarrow \infty} (a_n)^{1/n}=\frac{4}{e}. Bu da bizim istedigimiz limit.
(25.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

a_{n}=\dfrac {\left( n+1\right)\left( n+2\right) \ldots \left( n+n\right) } {n^{n}} olarak aldığımızda 

1\leq \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sqrt [n] {\left( n+1\right) \left( n+2\right) \ldots \left( n+n\right) }} {n}\leq 2 arasında olmalıdır. 

\dfrac {a_{n+1}} {a_{n}}=\dfrac {\left( n+2\right) \left( n+3\right) \ldots \left( 2n\right) \left( 2n+1\right) \left( 2n+2\right) } {\left( n+1\right) \left( n+2\right) \ldots \left( 2n\right) }\dfrac {n^{n}} {\left( n+1\right) ^{n+1}} 

=\dfrac {\left( 4n+2\right) } {n}\left( 1-\dfrac {1} {n+1}\right) ^{n+1}    buradan  \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {a_{n+1}} {a_{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\left( 4n+2\right) } {n}\left( 1-\dfrac {1} {n+1}\right) ^{n+1}=\dfrac {4} {e} olduğundan \lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n] {a_{n}}=\dfrac {4} {e} dir.

Şu şekilde de düşünebiliriz aslında 

a_{n}=\dfrac {\left( n+1\right)\left( n+2\right) \ldots \left( n+n\right) .n!} {n^{n}.n!}=\dfrac {\left( 2n\right) !} {n^{n}.n!}  olduğu göz önüne alınıp aynı işlemler yapılabilirdi. 

(57 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

evet dogru cozumu bu olmus. son esitlik de kcuk bir hata olmus gibi.

Sercan hocam tam olarak hangisinde hata var? 

(4n+2)/n olan esitlik kisminda galiba. 

\dfrac {a_{n+1}} {a_{n}} oranın sayısal değerlerine bakınca bu eşitlik gözüküyor.. En son a_{n} için verilen eşitlikte \dfrac {a_{n+1}} {a_{n}}  ifadesinin sonucu bu yazdığımı getiriyor.

benim 4 islemim cidden iyi degil ama daha da orasi (2n+1)(2n+2)/n(n+1) olacakmis gibi. vaktini de aliyorum ama.

Yok vaktimi almıyorsunuz. Doğru düşünüyorsunuz aslında fakat dizinin o kısmında  kendinden önce gelen ifadenin bir fazlasının çarpımı şeklinde devam ediyor.
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,689 kullanıcı