Harmonik-imsi dizi(yakınsaklık)

2 beğenilme 0 beğenilmeme
196 kez görüntülendi
$ s>1$ ve $s \in \mathbb{Q} $ olsun.$H_n = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + . . . + \frac{1}{n^s}$ olsun. $(H_n)_n$ dizisinin limitinin var ve sonlu bir sayıya eşit olduğunu kanıtlayın. 
12, Eylül, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Cagan Ozdemir (666 puan) tarafından  soruldu

$\zeta(s)$ ve $s>1$ kosulu yeterli. 

Analiz çalışıyorum, reel üs almayı tanımlamadık henüz. Ondan $s \in \mathbb{Q}$ dedim. $s \in \mathbb{R}$ kanıtlasanız daha güzel olur tabii

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$(H_n)$ dizisinin artan olduğu aşikar, sınırlı olduğunu göstermek yeterlidir.

$n=2^m-1$ olsun.

$H_n=\frac1{1^s}+(\frac1{2^s}+\frac1{3^s})+(\frac1{4^s}+\cdots+\frac1{7^s})+\left(\frac1{8^s}+\cdots+\frac1{(15)^s}\right)+\cdots+\left(\frac1{(2^{m-1})^s}+\cdots+\frac1{(2^m-1)^s}\right)$ olup

$H_n\leq \frac1{1^s}+2\frac1{2^s}+4\frac1{4^s}+\cdots+(2^{m-1})\frac1{(2^{m-1})^s}$ olur. Buradan

$H_n\leq 1+\frac1{2^{s-1}}+\frac1{4^{s-1}}+\frac1{8^{s-1}}+\cdots+\frac1{(2^{m-1})^{s-1}}$

$H_n\leq 1+\frac1{2^{s-1}}+\left(\frac1{2^{s-1}}\right)^2+\cdots+\left(\frac1{2^{s-1}}\right)^{m-1}<\frac1{1-\frac1{2^{s-1}}}$ elde edilir. Gerisini (diğer $n$ değerleri için de doğru olduğunu) sen tamamlayabilirsin. Daha sonra, artan sınırlı dizilerin yakınsaklığı teoremi (http://matkafasi.com/20940/ustten-sinirli-ve-artan-bir-dizinin-limiti-vardir?show=20940#q20940) , ispatı (her $s\in\mathbb{R} ,\ s>1$ için)  tamamlar.

Bir soru: $s>1$ olduğunu nerde kullandık?

12, Eylül, 2015 DoganDonmez (3,302 puan) tarafından  cevaplandı

s doğal olarak >1 oldu. Çünkü s<1 elde ettiğimiz geometrik seri ıraksak olur, $H_n \geq Geometrik seri$ eşitsizliğinden bir şey elde edemeyiz.

Az önce tamamladığım kanıtın eksik bir yanı var mı Doğan Hocam?

$\varepsilon >0$ verilmiş olsun. Dizinin Cauchy dizisi olduğunu göstereceğiz. n,m ve N göstergeçleri için $m>n>N$ olsun.

                                        $ x_m - x_n $ $< \varepsilon$ 

olduğunu göstermeliyiz.Başlayalım:

$x_m -x_n$ = $\frac{1}{1^s} + . . . +\frac{1}{m^s} - \frac{1}{1^s} - . . . - \frac{1}{n^s} = \frac{1}{(n+1)^s}+ . . . + \frac{1}{m^s}$

olur.

$ \frac{1}{(n+1)^s}+ . . . + \frac{1}{m^s}$ $\leq$ $\frac{1}{(n+1)^s}$ + . . . + $\frac{1}{(n+1)^s} = (m-n)\frac{1}{(n+1)^s}$

Ve,

$\underset{n\rightarrow\infty}{lim} [(m-n)\frac{1}{(n+1)^s}]$ = 0 < $\varepsilon$

Yani, $H_n$ Cauchy dir. Yani yakınsaktır.

Dizinin Cauchy dizisi olduğunu değil, artan ve sınırlı olduğunu gösterdik.

Bu dizi $\sum\frac1{n^s}$ sonsuz serisinin kısmi toplamlar dizisidir. $\sum\frac1{n^p}$ serisine $p$ -serisi denir. ($p=1$ iken harmonik seri denir) $p=2$ için toplamı bulma problemi (Jacob Bernoulli nin yaşadığı şehre atfen) Basel Poblemi olarak bilinir.

Çift p'ler için bir reel sayıya yakınsak olduğu gösterildi. Tek p'ler içinse dizi hakkında pek bir şey bilinmiyor sanıyorum.

Cevapta (aslında 1700 lerde Jacob Benoulli tarafından)  HER $p\in\mathbb{R},\ p>1$ için yakınsak olduğu gösterildi. Euler çift tamsayılar için toplamını buldu. Tek tamsayılarda toplam (sanırım) bilinmiyor

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Cevapta $H$ yerine $S$ ve $s$ yerine $p$ yazili...


Ilk olarak $$S_k=\sum\limits_{n=1}^{k} \frac1{n^p}$$ olarak tanimlayalim. Bu durmda  $$\begin{eqnarray}S_{2k+1}&=&\sum_{n=1}^{2k+1}\frac{1}{n^p}\\&=&1+\sum_{i=1}^k\left(\frac{1}{(2i)^p}+\frac{1}{(2i+1)^p}\right)\\&<&1+\sum_{i=1}^k\frac{2}{(2i)^p}\\&=&1+2^{1-p}S_k\\&<&1+2^{1-p}S_{2k+1}\end{eqnarray}$$ olur ve esitsizligi duzenlersek $$S_{2k+1}<\frac{1}{1-2^{1-p}}$$ elde ederiz. $S_k < S_{2k+1}$ oldugundan her $k> 1$ tam sayisi icin $$S_{k}<\frac{1}{1-2^{1-p}}$$ olur.


Pozitif terimli $\{S_k\}_{k\geq1}$ dizisi artan (bu cikarim basit) ve ustten sinirli oldugundan (bunu da yukarida gosterdik) monoton yakinsaklik teoremi geregi dizimiz yakinsar. Bu nedenle bu dizinin limiti olan $$\lim\limits_{k\to\infty}S_k=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac1{n^p}$$ yakinsar.

18, Mart, 2016 Sercan (22,566 puan) tarafından  cevaplandı
18, Mart, 2016 Sercan tarafından düzenlendi
...