Harmonik-imsi dizi(yakınsaklık)

Question

$ s>1$ ve $s \in \mathbb{Q} $ olsun.$H_n = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + . . . + \frac{1}{n^s}$ olsun. $(H_n)_n$ dizisinin limitinin var ve sonlu bir sayıya eşit olduğunu kanıtlayın. 

Comments

$\zeta(s)$ ve $s>1$ kosulu yeterli. 

---

Analiz çalışıyorum, reel üs almayı tanımlamadık henüz. Ondan $s \in \mathbb{Q}$ dedim. $s \in \mathbb{R}$ kanıtlasanız daha güzel olur tabii

Answer 1

$(H_n)$ dizisinin artan olduğu aşikar, sınırlı olduğunu göstermek yeterlidir.

$n=2^m-1$ olsun.

$H_n=\frac1{1^s}+(\frac1{2^s}+\frac1{3^s})+(\frac1{4^s}+\cdots+\frac1{7^s})+\left(\frac1{8^s}+\cdots+\frac1{(15)^s}\right)+\cdots+\left(\frac1{(2^{m-1})^s}+\cdots+\frac1{(2^m-1)^s}\right)$ olup

$H_n\leq \frac1{1^s}+2\frac1{2^s}+4\frac1{4^s}+\cdots+(2^{m-1})\frac1{(2^{m-1})^s}$ olur. Buradan

$H_n\leq 1+\frac1{2^{s-1}}+\frac1{4^{s-1}}+\frac1{8^{s-1}}+\cdots+\frac1{(2^{m-1})^{s-1}}$

$H_n\leq 1+\frac1{2^{s-1}}+\left(\frac1{2^{s-1}}\right)^2+\cdots+\left(\frac1{2^{s-1}}\right)^{m-1}<\frac1{1-\frac1{2^{s-1}}}$ elde edilir. Gerisini (diğer $n$ değerleri için de doğru olduğunu) sen tamamlayabilirsin. Daha sonra, artan sınırlı dizilerin yakınsaklığı teoremi (http://matkafasi.com/20940/ustten-sinirli-ve-artan-bir-dizinin-limiti-vardir?show=20940#q20940) , ispatı (her $s\in\mathbb{R} ,\ s>1$ için)  tamamlar.

Bir soru: $s>1$ olduğunu nerde kullandık?

Comments

s doğal olarak >1 oldu. Çünkü s<1 elde ettiğimiz geometrik seri ıraksak olur, $H_n \geq Geometrik seri$ eşitsizliğinden bir şey elde edemeyiz.

---

Az önce tamamladığım kanıtın eksik bir yanı var mı Doğan Hocam?

$\varepsilon >0$ verilmiş olsun. Dizinin Cauchy dizisi olduğunu göstereceğiz. n,m ve N göstergeçleri için $m>n>N$ olsun.

                                        $ x_m - x_n $ $< \varepsilon$ 

olduğunu göstermeliyiz.Başlayalım:

$x_m -x_n$ = $\frac{1}{1^s} + . . . +\frac{1}{m^s} - \frac{1}{1^s} - . . . - \frac{1}{n^s} = \frac{1}{(n+1)^s}+ . . . + \frac{1}{m^s}$

olur.

$ \frac{1}{(n+1)^s}+ . . . + \frac{1}{m^s}$ $\leq$ $\frac{1}{(n+1)^s}$ + . . . + $\frac{1}{(n+1)^s} = (m-n)\frac{1}{(n+1)^s}$

Ve,

$\underset{n\rightarrow\infty}{lim} [(m-n)\frac{1}{(n+1)^s}]$ = 0 < $\varepsilon$

Yani, $H_n$ Cauchy dir. Yani yakınsaktır.

---

Dizinin Cauchy dizisi olduğunu değil, artan ve sınırlı olduğunu gösterdik.

---

Bu dizi $\sum\frac1{n^s}$ sonsuz serisinin kısmi toplamlar dizisidir. $\sum\frac1{n^p}$ serisine $p$ -serisi denir. ($p=1$ iken harmonik seri denir) $p=2$ için toplamı bulma problemi (Jacob Bernoulli nin yaşadığı şehre atfen) Basel Poblemi olarak bilinir.

---

Çift p'ler için bir reel sayıya yakınsak olduğu gösterildi. Tek p'ler içinse dizi hakkında pek bir şey bilinmiyor sanıyorum.

---

Cevapta (aslında 1700 lerde Jacob Benoulli tarafından)  HER $p\in\mathbb{R},\ p>1$ için yakınsak olduğu gösterildi. Euler çift tamsayılar için toplamını buldu. Tek tamsayılarda toplam (sanırım) bilinmiyor

Answer 2

Cevapta $H$ yerine $S$ ve $s$ yerine $p$ yazili...


Ilk olarak $$S_k=\sum\limits_{n=1}^{k} \frac1{n^p}$$ olarak tanimlayalim. Bu durmda  $$\begin{eqnarray}S_{2k+1}&=&\sum_{n=1}^{2k+1}\frac{1}{n^p}\\&=&1+\sum_{i=1}^k\left(\frac{1}{(2i)^p}+\frac{1}{(2i+1)^p}\right)\\&<&1+\sum_{i=1}^k\frac{2}{(2i)^p}\\&=&1+2^{1-p}S_k\\&<&1+2^{1-p}S_{2k+1}\end{eqnarray}$$ olur ve esitsizligi duzenlersek $$S_{2k+1}<\frac{1}{1-2^{1-p}}$$ elde ederiz. $S_k < S_{2k+1}$ oldugundan her $k> 1$ tam sayisi icin $$S_{k}<\frac{1}{1-2^{1-p}}$$ olur.


Pozitif terimli $\{S_k\}_{k\geq1}$ dizisi artan (bu cikarim basit) ve ustten sinirli oldugundan (bunu da yukarida gosterdik) monoton yakinsaklik teoremi geregi dizimiz yakinsar. Bu nedenle bu dizinin limiti olan $$\lim\limits_{k\to\infty}S_k=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac1{n^p}$$ yakinsar.