Egitim

b|c ise (a,b)=(a+c,b) olduğunu gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
129 kez görüntülendi
10, Eylül, 2015 Lisans Matematik kategorisinde YsnA (595 puan) tarafından  soruldu

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$b\mid c$ oldugundan bir adet $k \in \mathbb Z$ icin $c=bk$ esitligi saglanir.

Gosteriniz: $d\mid a,b$ ise $x,y\in \mathbb Z$ olmak uzere $d\mid ax+by$ olur. 

Ipucu: $a+c=a\cdot1+b\cdot k$. ve $a=(a+c)\cdot1+b\cdot(-k)$.

10, Eylül, 2015 Sercan (23,491 puan) tarafından  cevaplandı

$b \mid c$ ise $c=bk$ $(k\in \mathbb Z)$

$(a,b)=d$ olsun.

$(a,b)=d$ ise $d \mid a$ ve $d \mid b$ 

$d \mid b$ ise $d \mid bk$ ise $d \mid c$ olur.

$d \mid a$ ve $d \mid c$ ise $d \mid (a+c)$ olur.

Bu yöntem olur mu?

Tek tarafını göstermiş oluyorsun. Bir de $(a+c,b)=d$ ise diye başlayıp diğer tarafı da göstermek lazım.

Tamam.Sağ ol.
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(a,b)=m$ ve $(a+c,b)=n$ olsun. $b\mid c \Rightarrow m=n$ midir? Yani; $m\mid n$ ve $n\mid m$ olduğunu görmeliyiz. (En büyük ortak bölen pozitif olduğundan)

$(a,b)=m$ olduğundan $m\mid a$, $m\mid b$ ve $b\mid c$ ise $m\mid c$ elde edilir. Diğer taraftan $m\mid a$ ve $m\mid c\Rightarrow m\mid a+c$ ve $m\mid b$. Buradan $m\mid n$.

$n\mid a+c$,  $n\mid b$ ve $b\mid c\Rightarrow n\mid c$ elde edilir. Buradan $n\mid a$ ve $n\mid b$. Yani; $n\mid m$.


17, Eylül, 2015 Handan (1,510 puan) tarafından  cevaplandı
2 beğenilme 0 beğenilmeme

Bi yanıt da ben yazayım.

$b$ sayısı $c$'yi bölüyr demek $bk=c$ eşitliğini sağlayan bir $k$ tamsayısı var demek. Bu burda dursun.

Öncelikle hem $a$'yı hem de $b$'yi bölen bir $x$ alalım. Aldığımız $x$ sayısı $b$'yi böldüğü için $b$'nin bir katı olan $c$'yi de böler. O halde $a+c$'yi de böler çünkü hem $a$'yı hem de $c$'yi bölüyormuş. Ama $b$'yi de bölüyordu aldığımız $x$. Demek ki sonuç olarak şunu bulduk: Hem $a$'yı hem de $b$'yi bölen bir sayı hem $a+c$'yi hem de $b$'yi bölermiş. Başka bir deyişler, $a$ ve $b$'nin ortak bölenleri kümesi $a+c$ ile $b$'nin ortak bölenleri kümesinin altkümesiymiş. Şimdi hem $a+c$'yi hem de $b$'yi bölen bir $x$ alalım. $x$ sayısı $b$'yi böldüğü için $b$'nin tam katı olan $kb=c$'yi de böler. O halde $x$ sayısı $a+c$'yı ve $kb=c$'yi böldüğü için de ikisinin farkı olan $a+c-c=a$ sayısını böler. Bu da $x$ sayısı hem $a$'yı hem de $b$'yi bölüyormuş demek. Çıkan sonuç şu: Hem $a+c$'yi hem de $b$'yi bölenler kümesi hem $a$'yı hem de $b$'yi bölenler kümesinin altkümesiymiş.


İki sonuç birleşince hem $a$'yı hem $b$'yi bölenler kümesinin hem $a+c$'yi hem $b$'yi bölenler kümesiyle aynı olduğu sonucu çıkar. Kümeler aynıysa en büyük elemanları da aynıdır. Bu kümelerin en büyük elemanları bu sayıların en büyük ortak böleni olduğuna göre arana n eşitlik bulunmuş olur.

17, Eylül, 2015 Safak Ozden (3,403 puan) tarafından  cevaplandı

En kısa cevap Sercan, en uzun cevap Şafak ve en ideali tabiii ki: Handan:)

Haklisin. Ben Türkçe yazmak mümkün olduğunda matematiksel ifadeleri Türkçe yazmayı yeğlediğimden biraz uzun oluyor. Ama gençlerin öyle daha iyi anladığına inandığım için sürdürüyorum uzun olsa da bu şekilde yazmayı.

Beğendim zaten. Çok güzel. 

...