Question

b|c ise (a,b)=(a+c,b) olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Bi yanıt da ben yazayım.

$b$ sayısı $c$'yi bölüyr demek $bk=c$ eşitliğini sağlayan bir $k$ tamsayısı var demek. Bu burda dursun.

Öncelikle hem $a$'yı hem de $b$'yi bölen bir $x$ alalım. Aldığımız $x$ sayısı $b$'yi böldüğü için $b$'nin bir katı olan $c$'yi de böler. O halde $a+c$'yi de böler çünkü hem $a$'yı hem de $c$'yi bölüyormuş. Ama $b$'yi de bölüyordu aldığımız $x$. Demek ki sonuç olarak şunu bulduk: Hem $a$'yı hem de $b$'yi bölen bir sayı hem $a+c$'yi hem de $b$'yi bölermiş. Başka bir deyişler, $a$ ve $b$'nin ortak bölenleri kümesi $a+c$ ile $b$'nin ortak bölenleri kümesinin altkümesiymiş. Şimdi hem $a+c$'yi hem de $b$'yi bölen bir $x$ alalım. $x$ sayısı $b$'yi böldüğü için $b$'nin tam katı olan $kb=c$'yi de böler. O halde $x$ sayısı $a+c$'yı ve $kb=c$'yi böldüğü için de ikisinin farkı olan $a+c-c=a$ sayısını böler. Bu da $x$ sayısı hem $a$'yı hem de $b$'yi bölüyormuş demek. Çıkan sonuç şu: Hem $a+c$'yi hem de $b$'yi bölenler kümesi hem $a$'yı hem de $b$'yi bölenler kümesinin altkümesiymiş.

İki sonuç birleşince hem $a$'yı hem $b$'yi bölenler kümesinin hem $a+c$'yi hem $b$'yi bölenler kümesiyle aynı olduğu sonucu çıkar. Kümeler aynıysa en büyük elemanları da aynıdır. Bu kümelerin en büyük elemanları bu sayıların en büyük ortak böleni olduğuna göre arana n eşitlik bulunmuş olur.

Comments

En kısa cevap Sercan, en uzun cevap Şafak ve en ideali tabiii ki: Handan:)

---

Haklisin. Ben Türkçe yazmak mümkün olduğunda matematiksel ifadeleri Türkçe yazmayı yeğlediğimden biraz uzun oluyor. Ama gençlerin öyle daha iyi anladığına inandığım için sürdürüyorum uzun olsa da bu şekilde yazmayı.

---

Beğendim zaten. Çok güzel. 

Answer 2

$b\mid c$ oldugundan bir adet $k \in \mathbb Z$ icin $c=bk$ esitligi saglanir.

Gosteriniz: $d\mid a,b$ ise $x,y\in \mathbb Z$ olmak uzere $d\mid ax+by$ olur. 

Ipucu: $a+c=a\cdot1+b\cdot k$. ve $a=(a+c)\cdot1+b\cdot(-k)$.

Comments

$b \mid c$ ise $c=bk$ $(k\in \mathbb Z)$

$(a,b)=d$ olsun.

$(a,b)=d$ ise $d \mid a$ ve $d \mid b$ 

$d \mid b$ ise $d \mid bk$ ise $d \mid c$ olur.

$d \mid a$ ve $d \mid c$ ise $d \mid (a+c)$ olur.

Bu yöntem olur mu?

---

Tek tarafını göstermiş oluyorsun. Bir de $(a+c,b)=d$ ise diye başlayıp diğer tarafı da göstermek lazım.

---

Tamam.Sağ ol.

Answer 3

$(a,b)=m$ ve $(a+c,b)=n$ olsun. $b\mid c \Rightarrow m=n$ midir? Yani; $m\mid n$ ve $n\mid m$ olduğunu görmeliyiz. (En büyük ortak bölen pozitif olduğundan)

$(a,b)=m$ olduğundan $m\mid a$, $m\mid b$ ve $b\mid c$ ise $m\mid c$ elde edilir. Diğer taraftan $m\mid a$ ve $m\mid c\Rightarrow m\mid a+c$ ve $m\mid b$. Buradan $m\mid n$.

$n\mid a+c$,  $n\mid b$ ve $b\mid c\Rightarrow n\mid c$ elde edilir. Buradan $n\mid a$ ve $n\mid b$. Yani; $n\mid m$.