Periyodik bir fonksyion

Question

Harmonik salinim denklemi $$\frac{\partial^2x}{\partial t^2}+\omega^2x=0.$$ Sinus ve kosinus fonksiyonlarini bilen birisi icin bu denklemin cozumu kolay. Bu soru icin unutalim. Baslayalim. Diyelim ki $x$ bu denlemin bir cozumu olsun. Belli sartlar altinda gosterilebilir ama kolaylik olsun diye sunlari kabul edelim.

1. $x$ sinirli bir fonksiyon.
2. Sabit bir $H$ sayisi icin  $$\dot{x}^2+\omega^2x^2=H$$ esitligi butun $t$'ler icin dogru.

$t$'yi $x$'e bagli bir integral olarak yazin. Bu integralin isareti konusunda bir secim yapmak gerekecek cunku karekok aliniyor. $x$'in sinirli $t$'nin de sinirsiz olmasini kullanarak $x$'in periyodik bir fonksiyon oldugunu gosterin.

Baslangic degerleri olarak $x(0)=0$ ve $\dot{x}=1$ alin ve bu denklemi guc serisi cinsinden cozun. 

Bir onceki kismi kullanarak buldugunuz guc serisinin periyodil bir fonksiyon oldugunu goseterin.