$e^{i\pi}+1=0$

Question

Matematikte, belki de en ilginç beş sayı şunlardır:

$0,1,e,\pi ,i$

Sadece bu sayıları içeren harika bir denklemin varlığını hepiniz duymuşsunuzdur:

$e^{i\pi}+1=0$

İlk bakışta aralarında hiçbir bağ yokmuş gibi görünen bu sayılar nasıl oluyor da böyle bir denklemi sağlıyor?

Answer 1

$e^{i\theta}= \cos \theta+i\,\sin \theta$  özdeşliğinden dolayı sağlıyor

Answer 2

 denkleminde x yerine π yazalım.

 ve 

 olduğundan

 olur.

Answer 3

Bu seferde $e^{i\theta}= \cos \theta+i\sin \theta$ özdeşliğinin neden sağlandığını merak ediyor insan :)

Comments

Bu güzel ifade için teşekkürler. Matematiği 'anlamak' amacıyla kurulmuş bu portalda 'sonuca yönelik' çözümler değil de 'öğretmeye' yönelik çözümler hazırlanmalı diye düşünüyorum. Eminim bu özdeşliğin neden sağlandığı ifade edecek bir uzmanımız vardır.

Answer 4

Jean-Paul Bourguignon'un videosu:

https://vimeo.com/52770999

(keşke biri türkçe altyazı yapsa)

Answer 5

https://upload.wikimedia.org/math/f/9/8/f98fd1cf18b61436b3adf73e1be3e6fc.png

https://upload.wikimedia.org/math/d/3/1/d313574308b26ae8292951977a7ee638.png

https://upload.wikimedia.org/math/5/8/0/5808cbc51cff8337a53942f6dead911e.png

Answer 6

x^(iy)=cos(y*log(x))+sin(y*log(x)) eder (neden bilmiyorum) ve log e = 1 dir cosinüs pi = -1, sinüs pi ise 0 eder