Boş kümenin tanımı nedir? Boş küme var mıdır? Boş küme tek(bir tane) midir?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
3,639 kez görüntülendi
4, Eylül, 2015 Serbest kategorisinde Mehmet Toktaş (18,827 puan) tarafından  soruldu

Sayfa 51 ve 52 Hafta 2.pdf (0,1 MB)

Your browser does not have a PDF plugin installed.

Download the PDF: Hafta 2.pdf

Murat hocam peki boş küme, bağıntının hangi özelliklerini taşır ya da taşırmı? simetrik, antisimetrik, yansıma, asimetrik geçişme?

Boş BAĞINTI hem simetrik, hem ters simetrik, hem de geçişken bir bağıntıdır.

teşekkür ederim hocam, Peki kanıtlanabilirmi kabul mu, yada boş küme bir sıralı ikilmidir?

Tanım: $A$ ve $B$ herhangi iki küme olmak üzere

$$\beta, \ A\text{ ' dan } B\text{ ' ye bağıntı} :\Leftrightarrow \beta \subseteq A\times B$$

Özel olarak $A=B$ ise $\beta \text{ '}$ ya $A\text{ '}$ da bağıntı denir. $A\text{ '}$ da bağıntıların bazı özellikleri vardır. Yansıma, simetrik, ters simetri ve geçişme özellikleri gibi. $A$ herhangi bir küme ve $\beta \subseteq A^2$ yani $\beta$, $A\text{ '}$ da bağıntı olmak üzere

$$\beta \text{ yansıyan}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$ \forall x(x\in A\to (x,x)\in\beta)$$

Demek ki bir bağıntının yansıyan olması,  $$\forall x( x\in A\to (x,x)\in\beta)$$ önermesinin doğru olması anlamına geliyor. 

Benzer şekilde 

$$\beta \text{ simetrik}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$ (\forall x,y\in A)((x,y)\in \beta\to (y,x)\in\beta)$$

şeklinde tanımlanıyor ve benzer şekilde de diğerleri.

Eğer $A=\emptyset $ ise yegane bağıntı $\beta =\emptyset \subseteq \emptyset = A^2$ olacaktır. Bu durumda

$$\forall x(x\in \emptyset \to (x,x)\in \emptyset)$$ önermesi doğru bir önerme olduğundan söz konusu bağıntı yansıyan olacaktır.

Eğer $A\neq \emptyset$ ise $\beta =\emptyset \subseteq A^2$ bağıntısı yansıyan olmaz. Çünkü $$\forall x(x\in A\to (x,x)\in \emptyset)$$ önermesi yanlış dolayısıyla $\beta$ bağıntısı yansıyan olmayacaktır. Benzer mülahazalar simetri özelliği, ters simetri özelliği ve geçişme özelliği için de yapılabilir.

Son olarak şunu da ilave edeyim.

$A$ herhangi bir küme olmak üzere $\beta =\emptyset \subseteq A^2$ ise $\beta \text{ '}$ ya boş bağıntı diyoruz.

Çok teşekkürler

...