Question

$$\int_0^1\:\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(2-x^2)}}$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int_0^1\:\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(2-x^2)}}$$

$1-x^2=u$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$\frac{1}{2}\,\,\int_0^1\:\frac{du}{\sqrt{u\,(1-u^2)}}$$

$u^2=\lambda$ olacak şekilde tekrar değişken değiştirelim.

$$\frac{1}{4}\,\int_0^1\:\lambda^{-3/4}\:(1-\lambda)^{-1/2}\:d\lambda$$

İntegrali beta ve gama fonksiyonu ile yazalım.

$$\frac{\Gamma\Big(\frac{1}{4}\Big)\Gamma\Big(\frac{1}{2}\Big)}{4\:\Gamma\Big(\frac{3}{4}\Big)}$$

Euler'in yansıma formülünü kullanarak daha sade bir şekilde yazalım.Euler'in yansıma formülü için buraya bakabilirsiniz.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^1\:\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(2-x^2)}}=\frac{\Gamma^2\Big(\frac{1}{4}\Big)}{4\sqrt{2\pi}}=L_1\approx1,311028}}$$

$L\to$ Lemniscate sabiti.