Question

$$\int_0^1\:\frac{1}{\sqrt[10]{1-x^{10}}}\:dx$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int_0^1\:\frac{1}{\sqrt[10]{1-x^{10}}}\:dx$$

$u=1-x^{10}$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$\frac{1}{10}\:\int_0^1\:u^{-\frac{1}{10}}\:(1-u)^{-\frac{9}{10}}\:du$$

İntegrali gama fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$\frac{1}{10}\Gamma\Big(\frac{1}{10}\Big)\Gamma\Big(1-\frac{1}{10}\Big)$$

Gama fonksiyonlarını Euler'in yansıma formülünü kullanarak tekrar yazalım.Euler'in yansıma formülünün ispatı için buraya bakılabilir.

$$\frac{\pi}{10}\csc\Big(\frac{1}{10}\Big)$$

$\csc(\frac{1}{10})=2\phi$ olduğunu biliyoruz.($\phi\to$ altın oran)

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^1\:\frac{1}{\sqrt[10]{1-x^{10}}}\:dx=\frac{\pi\phi}{5}\approx1.016640}}$$