Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
6 beğenilme 0 beğenilmeme
3.9k kez görüntülendi

F iki kere türevlenebilir ve ikinci türevi de sürekli olan tek değişkenli bir fonksiyon olsun. limh0F(x+h)+F(xh)2F(x)h2=F(x)eşitliği doğru mudur?

Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından  | 3.9k kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Türevin tanımından yararlanalım..

limh0F(x+h)F(x)h=F(x)  ise

F(x)=limh0F(x+h)F(x)h      olmalı.. (düzenleyelim)

             =limh0(limh0F(x+2h)F(x+h)hlimh0F(x+h)F(x)hh)

             =limh0(F(x+2h)F(x+h)h2F(x+h)F(x)h2)

             =limh0F(x+2h)+F(x)2F(x+h)h2 olur. Bu ifade soruda verilen iifadeyle aynı anlamı taşır. x yerine xh yazarsak;

F(x)=limh0F(x+h)+F(xh)2F(x)h2

(470 puan) tarafından 
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Kolayca görülür ki limh0F(x+h)+F(xh)2F(x)h2 limitine  L'Hospital' in Kuralı uygulanabilir.

Birinci kez uygulandığında

limh0F(x+h)F(xh)2h elde edilir. (ikinci türevin varlığı  varsayımından birinci türev süreklidir,  00 belirsizliği vardır) Bir kez daha L'Hospital' in Kuralı uygulanabilir ve

limh0F(x+h)+F(xh)2

 elde edilir.

İkinci Türevin sürekli olduğu varsayımından 

limh0F(x+h)+F(xh)2=F(x)+F(x)2=F(x)

elde edilir.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,962 kullanıcı