Olimpiyat kategorisinde olduğu için genel bir teoreme referans vermek yerine doğrudan bir çözüm göstermek gerekebilir belki.
Diyelim ki böyle bir rota olsun ve boyalı olmayan bir tahta kullanıyor olalım.
Santranç tahtamız $4$ tane $20$şer kareden oluşan üstüste konmuş doğru parçalarıdır. Bu doğru parçalarını iki ayrı gruba ayıralım:
$A$ grubu: En alttaki ve en üstteki iki parçadaki kareler.
$B$ grubu: Ortada bulunan iki parçadaki kareler.
Birinci gözlem: At gezintisi sırasında $A$ grubundaki bir kareye geldiği zaman mecburen $B$ grubundaki bir kareye gitmek zorundadır. Çünkü $A$ grubundaki kareler kendisiyle ya aynı sıradadır ya da $3$ sıra aşağıdadır/yukarıdadır.
İkinci gözlem: At her noktadan bir kere geçeceği için, yukarıdaki gözlem nedeniyle (yani $A$'ya her gelişinde $B$'ye dönmek zorunda), at gezintisi sırasında $B$ grubundaki bir kareden mecburen $A$ grubundaki bir kareye geçmek zorunda.
Bu iki gözlem bize şunu söylemekte. At gezintisinin koordinatlarını bilmesek de gruplar arasında şu iki biçimden birisinden gezinmek sorunda:
$$A-B-A-\cdots -A-B-A-B$$
veya
$$B-A-B-\cdots -B-A-B-A$$
Diyelim ki ilk durumdaki gibi olsun. Buradan şu sonuç çıkar: Eğer atın tek adımlarında bastığı noktaları siyaha, çift adımlarında bastığı noktaları beyaz ile boyarsak boyalı olmayan tahta sonunda $A$ bölgesi siyaha, $B$ bölgesi beyaza boyanmış bir hale gelecektir.
Şimdi ikinci kısma geçelim:
Teorem: Satranç tahtasında at, çıktığı bir noktaya bitişik bir noktaya sadece tek sayıda hamle yaparak gelebilir.
Teoremimizin şöyle bir ek sonucu bulunmakta: Atımız satranç tahtasını dolaşıyorsa ve yukarıdaki biçimde adımlarında boyanın rengini değiştirerek boyama yapıyorsa sonuçta tahtayı yanyana noktaların rengi farklı olacak şekilde boyamak zorunda. Yani yukarıdaki gibi $A$ bölgesi siyah $B$ bölgesi beyaz olacak biçimde bir boyama yapamaz. Yani. Yanisi çelişki!
Teoremin ispatı: Atın bütün hareketlerini düzlemde $(1,2),(2,1),(1,-2),(-2,1)$ vektörlerin tamsayı katsayılı kombinasyonları biçiminde yazabiliriz (Elbette daha az sayıda vektörle de bunu yapabiliriz. Ama bu dört vektör ve bunların $-$ işaretlileri bize atın tek hamlede yapabileceği bütün hareketleri veriyor, bu açıdan daha kullanışlılar). Diyelim ki atımız belirli bir yol yürüyerek $(0,0)$ noktasından $(0,1)$ noktasına gelmiş olsun. Bu demektir ki elimizde
$$ a(1,2)+b(2,1)+c(1,-2)+d(-2,1)=(0,1)$$
denklemi vardır. Ufak bir hesaplamayla $a+b+c+d$ toplamının tek bir sayıya eşit olması gerektiği bulunabilir.
Not: En son teoremde neden dört vektör yerine sekiz vektör (alınan vektörlere ek olarak onların eksi işaretlerinin alınmadığının da açıklamansı gerek. Ama bunun nedeni açık (Neden?))