Hardy-Littlewood-Sobolev eşitsizliği

0 beğenilme 0 beğenilmeme
193 kez görüntülendi

Teorem (H.L.S.e.): $p,r>1$ ve $0<\lambda<n$; $ \frac{1}{p}+\frac{\lambda}{n}+\frac{1}{r}=2$'yi sağlayacak şekilde olsunlar. Ayrıca $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ ve $h\in L^r(\mathbb{R}^n)$ olsun. Öyleyse $f$ ve $h$'den bağımsız ve

$\vert \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\vert x-y\vert^{-\lambda} h(y)dxdy\vert\leq S(n,\lambda,p)\Vert f\Vert_p\Vert h\Vert_r$ (H.L.S.e.)

'yi geçerli kılan keskin bir sabit $S(n,\lambda,p)$ (=bulunabilen en iyi sabit, $\forall s>0:s<S(n,\lambda,p)$ için eşitsizlik bozulur) vardır.

$p=r=\frac{2n}{2n-\lambda}$ ise $S(n,\lambda,p)=S(n,\lambda)=\pi^{\lambda/2}\frac{\Gamma(n/2-\lambda/2)}{\Gamma(n-\lambda /2)}\left(\frac{\Gamma(n/2)}{\Gamma(n)}\right) ^{-1+\lambda/n}$'dir.

Not: $p\neq r$ için keskin bir sabit daha bulunmamış, sadece $S(n,\lambda,p)\leq\frac{n}{(n-\lambda)}(\frac{\vert\mathbb{K}^{n-1}\vert}{n})^{\lambda /n}\frac{1}{pr}\left( \left(\frac{\lambda /n}{1-1/p}\right)+ \left(\frac{\lambda /n}{1-1/r}\right)\right)$'nin olduğu biliniyor ($\vert\mathbb{K}^{n-1}\vert$; $\mathbb{R}^n$'deki birim küre $\mathbb{K}^{n-1}$'nin alanı).

Bu teorem nasıl kanıtlanabilir ve kendisinden hangi durumlarda yararlanılabilir?

23, Ağustos, 2015 Lisans Matematik kategorisinde fiziksever (1,165 puan) tarafından  soruldu
28, Ağustos, 2015 fiziksever tarafından düzenlendi

Aşağıdaki linkte sorunuzun (kısmen) çözümü ile ilgili bir tez mevcut. Umarım işinize yarar.

http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~lerdos/Stud/khotyakov.pdf

Teşekkür ederim. Geriye sadece teoremin kullanım alanları kalıyor (tabi eğer biri -ek olarak- (başka) bir kanıtı (varsa?) yazmak istemezse).

...