Cauchy - Schwarz İntegral Eşitsizliği

Question

$f$ ve $g$, $[a,b]$ kapalı aralığı üzerinde sürekli iki fonksiyon olsun. Bu durumda
  
$$\left(\int\limits_{a}^{b}f(t)g(t)dt \right)^2 \leq \int\limits_{a}^{b}f^2(t)dt \int\limits_{a}^{b}g^2(t)dt$$

eşitsizliği vardır. Bu ifade  Cauchy-Schwarz İntegral Eşitsizliği olarak bilinir. (Fonksiyonlara süreklilik şartı yerine daha hafif olarak $[a,b]$ kapalı aralığında integrallenebilirlik şartı da koyulabilir.)

 

Bildiğimiz çözümleri ekleyebiliriz. İyi çalışmalar ...

Comments

fonksiyon integrallenebilir olunca da gecerli mi bu ? eger fonksiyonun karesi integrallenebilir ise elimizde bir ic carpim uzayi (hatta Hilbert galiba? $L^2$) olur.

$f,g \in L^2=\{f : \int_{a}^bdx\quad f^2(x) < \infty\}$ olsun.

Toplamayi ve skalar carpmayi soyle verelim. $(f+g)(x) = f(x)+g(x)$ ve $(\alpha f)(x) = \alpha f(x)$.

Elimizde bir vektor uzayi var suanda.

$\langle f , g \rangle = \int_a^b dx \quad f(x)g(x)$ bu uzayda bir ic carpim tanimliyor olmali.

Cauchy-Schwartz esitsizligi ic carpim uzaylarinda genel olarak dogru oldugu icin (ispatlayaagim bir sure sonra umarim) burada da dogru olmali. Ama yanilmiyorsam $L^p$ uzaylari genel olarak normlu uzay olmalarina karsin tek ic carpim uzayi $p = 2$ durumunda oluyor. integrallen fonksyinlarda da $L^1$ gecerli olmasi cauchy schwartz in ilgimi cekti

---

@eloi klasik hata: $a,b$ aralığında tek bir noktada $1$, diğer her yerde $0$ olan fonksiyonu düşün. Bu sıfır fonksiyonu değil ama integrali (ve karesinin integrali) sıfır. Bu sorunu çözmenin bir yolu var tabii ama şu haliyle bir iç çarpım elde edemedin.

---

modulo measure zero

---

Yani demem o ki $L_p$ uzayinin elemani aslinda fonksiyonlar degil denklik siniflari,  iki fonksiyon birbirine denk diyoruz eger fonksiyonlarin birbirinden farkli aldigi degerler kumesinin olcusu sifir ise

---

Ben iki sene ödeve koydum yanlış şekilde lineer cebir dersinde, kimse farketmedi (daha bilmedikleri için tabii integrallenebilmeyi).

---

Bu olcu ve integral meselesi benim hala kafami cok karistiriyor. Duzgun matematik dersi almadigim icin olabilir. Dirac-delta  "fonksiyonun" dan bahsederlerdi fizik giris derslerinde ve elektrik elektronikte mesela. Oyle fonksyon nasil olur diye kafam cok karisti uzun sure (ve hala karisik)

dirac demisken su videoyu suraya birakayim hazine gibi bir sey.

Answer 1

Cauchy - Schwarz integral eşitsizliğine çeşitli ispatlar bulunabilir. Aklımıza geldikçe bu başlığa ekleyebiliriz.

 

1. İspat: 

$f$ ve $g$ fonksiyonlarının $[a,b]$ aralığında integrallenebilir olduğunu düşünerek ispatı yapalım. Her $x$ gerçel sayısı için

$$0 \leq \left(xf(t)+g(t) \right)^2$$

dir. Her iki tarafın $[a,b]$ aralığı üzerinden integrali alınırsa

$$0 \leq \int\limits_{a}^{b}(xf(t)+g(t))^2 dt = x^2\int\limits_{a}^{b}f^2(t)dt + 2x\int\limits_{a}^{b}f(t)g(t)dt + \int\limits_{a}^{b}g^2(t)dt  =Ax^2+Bx+C$$

diyelim. Burada $A=\int\limits_{a}^{b}f^2(t)dt$, $B=2\int\limits_{a}^{b}f(t)g(t)dt$, $C=\int\limits_{a}^{b}g^2(t)dt$ dir.

Her $x$ gerçel sayısı için $0 \leq Ax^2+Bx+C \Longleftrightarrow \Delta = B^2 - 4AC \leq 0$ dır. Bu eşitsizlikte $A,B,C$ yerine tekrar integral eşitliklerini yazarsak

 

$$\left(\int\limits_{a}^{b}f(t)g(t)dt \right)^2 \leq \int\limits_{a}^{b}f^2(t)dt \int\limits_{a}^{b}g^2(t)dt$$

sonucuna ulaşılır.

 

Not: Ayrıca C-S İntegral eşitsizliği $\mathbb R^n$ nin bir alt bölgesinde tanımlı, reel değerli ve sürekli fonksiyonlar için yazılırsa, çok katlı integrallerde de geçerli olduğu görülebilir. Bunun ispatı da açıkça, yukarıda verdiğimiz gibi yapılır.

Comments

$f$ ve $g$ integrallenebilir ise $fg$ de intgerallenebilir teoremine gerek var herhalde.

(EK: Veya eşdeği olan: "$f$, bir aralıkta, integrllenebilir ise $f^2$ de, aynı aralıkta, intgerallenebilirdir" Teoremini kullanmak gerekiyor)