Küre ile çember arasında bir homeomorfizma var mıdır?

3 beğenilme 0 beğenilmeme
340 kez görüntülendi
21, Ağustos, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Cagan Ozdemir (669 puan) tarafından  soruldu

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Hayır. Yoktur. Çünkü küre $2$-manifolddur çember ise $1$-manifold. Dolayısıyla bunlar homeomorfik olamaz.

21, Ağustos, 2015 murad.ozkoc (8,438 puan) tarafından  cevaplandı

Iki manifold neden bir manifold'a homeomorfik olamaz?

Kabaca şöyle diyelim. Küreyi, yakından baktığımızda bir düzlem; çemberi, yakından baktığımızda ise bir doğru gibi görürüz.

Bu homeomorfik olmaması için yeterli mi?

$m,n\in \mathbb{N}$ olmak üzere

$$(\mathbb{R}^m,\mathcal{U}^m)\cong (\mathbb{R}^n,\mathcal{U}^n)\Leftrightarrow m=n$$

Yalniz galiba bu soylenen soruda sorulandan daha zor bir teorem.

Evet.                     

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Hayir olamaz cunku kurenin temel grubu $1$'den ibarettir ote yandan cemberin temel grubu $\mathbb{Z}$'dir. Bilindigi uzere homeomorfik uzaylarin temel gruplari da izomorf olmalidir.

21, Ağustos, 2015 Safak Ozden (3,290 puan) tarafından  cevaplandı

Temel grubun tanımı nedir?

Bir topolojik uzayin temel grubunun tanimi nedir?

Formal olmayan tanimini vereyim Cagan icin.


Oncelikle eline bir tane halka seklinde ip al. 


Ilk olarak bu ipi bir kurenin yuzeyine kendisini kesmeyecek bicimde yerlestir. Sezgisel olarak sunu soyleyebiliriz degil mi: Bu ipi buzusture buzusture bir nokta elde edebiliriz. 


Simdi bir tane daire al ve bu dairenin ortasindan bir daireyi kes cikart. Elinde kalan sey kalinligi olmayan simit gibi bir sey. Bu noktada bir kagit kalemle bunu cizersen iyi olur. Simdi bu cember seklindeki ipi bu simitin uzerine yerlestir. Analitik olarak soyle yani. Elindeki sekil 2 yaricapli daireden 1 yaricapli daire cikartilarak elde edilen sekil olsun. Ipi de 1.5 yaricapli cemberin uzerine gelecek sekilde yerlestirelim. Gordugun gibi bu ipi seklinden dirasi cikmadan bir noktaya buzusturemiyorsun.


Bu iki gozlemimizi matematiksel olarak ispatladigimizi varsayarak devam edelim ve bunlardan guzel bir sonuc cikartalim.


Diyelim ki boyle kesmeden bicmeden, yalnizca ittirerek, bir hamuru yogurur gibi hareketlerle  ortasi bos daire seklimizi birebir bicimde kuremizle eslestirmis olalim. Bu durumda ortadaki ipimiz de kure uzerinde kendisini kesmeyen bir sekil uzerinde duracakti. Ama bu son ipi buzusturebiliyoruz. O halde ortadaki ipi de buzulturebilmemiz gerekirdi, orada hareketleri taklit ederek. O halde iddia ettigimiz gibi ittere kaktira, hamur yogurur gibi birebir bir eslemeyle ortasi delik daireden kure elde edemezmisiz.


2 beğenilme 0 beğenilmeme

Küreden (herhangi) 2 nokta çıkarılırsa yine bağlantılı olur, ama çemberden (herhangi)  iki nokta çıkarılırsa bağlantılı olmaz.

22, Ağustos, 2015 DoganDonmez (3,341 puan) tarafından  cevaplandı

Ek olarak: Aslında şöyle bir olay var, yanyana iki nokta çıkartırsak bağlantılı olması devam edebilir. Fakat bunu yapamıyoruz. Hatta farklı iki nokta arasında sonsuz nokta var.

"yanyana iki nokta" ne demek? İki nokta derken "iki farklı nokta" kastediyorum elbette.

Evet, farkli. Yanyana (farkli) iki nokta $a$ ile $b$ arasinda hic bir nokta olmamasi olsa gerek, boyle bir tanim var mi bilmiyorum ama. Benim aklima geliyor boyle seyler. 

Bu arada ek dedigim, cevaba degil. Eger benim gibi dusunen olursa diye..

$\mathbb{R}$ de (ve $\mathbb{Q}$ da) farklı, ama aralarında başka sayı olmayan iki nokta yoktur. çünki, $\frac{a+b}2,\ a$ ile $b$ arasındadır.

...