Karmaşık sayılar kümesi ile $\mathbb{R^2}$ (düzlem) arasında birebir ve örten bir fonksiyon daima var mıdır?

Question

Eğer  $f:\mathbb{C}\to \mathbb{R}$  fonksiyonu her $z=a+b.i\in \mathbb{C}$ için $f(z)=\{(a,b)\}$ olarak tanımlanırsa,bu fonksiyon daima birebir ve örtendir.

Bir karmaşık sayıyı; $i=\sqrt{-1}$ sanal birim ve $a,b\in \mathbb{R}$  olmak üzere $a+b.i=z$ şeklinde yazmamızı, düzlemin her $(a,b)$ noktası ile $a+b.i=z$ karmaşık sayısını eşlediğimizi  ve her $z=a+b.i$ karmaşık sayısı  ile de düzlemin $(a,b)$ noktasını birebir ve örten olarak eşlediğimizi düşünüyorum. 

1) Her $$z_1=a_1+b_1.i,\quad z_2=a_2+b_2.i \in \mathbb{C}$$ için  $$f(z_1)=f(z_2)=f(a_1+b_1.i)=f(a_2+b_2.i)$$

$$\{(a_1,b_1)\}=\{(a_2,b_2)\} \Rightarrow a_1=a_2,\quad b_1=b_2$$

2) Herhangi bir $\{(a,b)\}$ noktası için daima $z=a+b.i$ şeklinde bir karmaşık sayı yazılır.

Dolayısıyla $\mathbb{C}=\mathbb{R^2}$ dir diyebiliriz.

Bu düşünüşün yanlış olan yeri var mı? Daha güzel ve doğru yaklaşım nedir? Eleştiriler,düzeltmeler, eklemeler bekleniyor...

Comments

Bu yazdığınız fonksiyon, birebir ve örten olmanın yanısıra bu kümeler üzerinde yer alan toplama işlemine (ve reel sayılarla çarpma işlemine) de saygı duyuyor. Yani bir lineer dönüşüm. 

---

Toplama ve carpmayi su sekilde tanimlayabiliriz: $$(a,b)+(x,y):=(a+x,b+y),$$ $$(a,b)\cdot (x,y):=(ax-by,ay+bx).$$

---

Hocam  $f$  nin deger  kumesi  $\mathbb{R^2}$  olmali.

---

Hatta  genel  olarak  $\mathbb{C^m}\cong\mathbb {R^{2m}}$   yazılabilir. 

---

O zaman $\mathbb{C}$ ile $\mathbb{R}^2$ nin farki ne sorusu var sanki buralarda bir yerde?

---

https://sntp.ca/3146/notes.pdf

Ben geçen sene kompleks analiz dersi notlarımı yazmıştım. Gerçi şu anda bakınca dersi çok başka bir açıdan ele aldığımı farkettim. Ama olsun. 

---

Tesekkurler basladim okumaya! almanca bilmeden Exercise 1.1.1 zor gibi :) ?

tamamen serbest cagrisim bugun su soruyu soracaktim sonra biraz daha dusunup sormayayim dedim

urkce matematik kavramlari genellikle konu ile sezgisel bir baglantisi olan kelimeden turetilmis oluyor. Aklima gelen ornekler

Odak : Bir Parabolun odagina odun koyarsaniz alev (od) alir (Latincesinden birebir ceviri gibi)

Ucgen Dortgen n-gen  : N-kenarli soylemek cok uzun diye sanki N-ken demisim sonra soylene soylene N-gen olmus

Komsuluk : Bana yakin olan noktalar iste gercekten komsularim. Tabii mahalle komsuluklarini sonra sehir sonra ulke komsuluklarini falan dusunmek lazim analoji burada kiriliyor gibi

Bazi kavramlar ise kafa karistirici

Mesela dogru hem mantiktaki varolabilecek degerlerden birine referans olabilir yada geometrik olarak "duz" yurursek elde edecegimiz sekile denk gelebilir. Geometride dogruya neden dogru demisiz ki? eger dogru dogruysa dogru olmayan diger egrilere yanlis desem olur mu ? olmaz sanki

Eger oluyorsa acaba mantigi sirf geometrik objelerle yazabilir miyim ? nasil gorunurdu acaba bu

Su cok guzel hareketmis bu arada

Remark 1.1.8.Ozgur:When I was teaching linear algebra for the first time, my mothervisited my lecture at the University of Toronto. My students did not know thia as it wasa big classroom: the class enrollment was more than 200 students. Similar to denoting asolution to the equationx2−2 = 0 bys, I wanted to find a letter for a solution to theequationx2+ 1 = 0. I asked my mother: “Excuse me, what is the third letter of yourname?”. My mother’s name is Elif. The classroom was surprised because many studentsalready knew a little bit about complex numbers and they thought I was very lucky.