$\bar{\Phi}_n(T)$ polinomu $\mathbb{F}_p[T]$ içinde ne zaman indirgenemez olur?

Question

$\Phi_n(T)$ ile $n$-inci siklotomik polinomu, $\mathbb{F}_p[T]$ ile $p$ elemanlı cisim üzerine kurulan polinom halkasını, $\bar{\Phi}_n(T)$ ile $\Phi_n(T)$'nin $\mathbb{F}_p[T]$ içindeki indirgenmiş halini (reduction) gösterelim.

Soru: $\bar{\Phi}_n(T)$ polinomu, $\mathbb{F}_p[T]$ içinde ne zaman indirgenemez (irreducible) olur?

Siklotomik polinomlar hakkında

Comments

Sorudakinde bar olmayacak galiba, zaten indirgenmis hali o.

---

Türkçe terimler karışmış :) Düzenliyorum.

Answer 1

Daha genel: $q=p^f$ bir asal kuvveti olmak uzere $K=\mathbb F_q$ olsun ve de $K^{(n)}$ de $\Phi_n$ polinomunun ayristigi (splitting) cisim olsun. $d$ pozitif tam sayisi $q^k\equiv1\mod n$ kosulunu saglayan $k$ pozitif tam sayilarinin en kucugu olsun. O zaman $[K^{(n)}:K]=d$ olur. Hatta $\Phi_n$ dereceleri $d$ olan $\phi(n)/d$ adet indirgenemez polinomun carpimi seklinde yazilabilir.

Ifade ispat gibi zaten. Sunu kullansak yeterli: $w$ elemani $\mathbb F_q$ uzerinde ilkel bir birin $n.$ dereceden koku olsun. $w \in \mathbb F_{q^k}$ ancak ve ancak  $w^{q^k}=w$, yani $q^k \equiv1\mod n$. Son ifade de basit bir cikarim cunku bu ispat herhangi bir ilkel kok icin gecerli.

Sorunun cevabi da: Bu minimal pozitif $d$ sayisi $\phi(n)$ sayisina esit oldugu zaman $\Phi_n$ polinomu indirgenemez olur.