Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
1.5k kez görüntülendi

k cebirsel kapali bir cisim ve S bu cisim uzerine n degiskenli polinom halkasi olsun. S'deki her radikal idealin sonlu sayida asal idealin kesimine esit oldugunu gosteriniz.


Ipucu: Hilbert Nullstellensatz.

Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından  | 1.5k kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

İfadenin daha genel hali: R bir Notheryen (Noetherian) halkası olmak üzere, R'nin tüm radikal idealleri sonlu sayıda asal idealin kesişimidir.

İspat: Velev ki ifade doğru olmasın. İfadenin doğru olmadığı tüm radikal ideallerin kümesi, R Notheryen olduğu için, bir maksimal eleman içermeli, I diyelim. Açık ki I bir asal ideal değil, olsaydı sonlu sayıda asalın (kendisinin) kesişimi olurdu. O halde R'de öyle a ve b elemanları vardır ki, a,bI ve abI olur. Şimdi, J1=I+(a) ve J2=I+(b) ideallerini düşünelim. Tabii ki bu idealler I'dan büyük, demek ki bu idealler sonlu sayıda asal idealin kesişimi.

İddia: I=J1J2

İspat: İfadenin bir tarafı açık. Diğer taraf için fJ1J2 alalım. Bu durumda öyle m1,m2N, öyle g1,g2I ve öyle h1,h2R vardır ki, fm1=g1+ah1 ve fm2=g2+bh2, yani fm1+m2=g1g2+g1bh2+g2ah1+abh1h2 eşitliği sağlanır. Bu da fm1+m2I olduğunu söyler. Ne mutlu ki I bir radikal ideal, bu durumda fI.

İddia doğru olduğundan bir çelişki elde ettik. Demek ki böyle bir I radikal ideali yok, demek ki tüm radikal idealler sonlu sayıda asal idealin kesişimi.

---

Computational Commutative Algebra 2, Kreuzer & Robbiano

---

Hilbert Sıfır Savı (Hilbert Nullstellensatz) kullanılarak yapılan ispatı da çok merak ettim. Umarım birileri paylaşır.

(1.1k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Bak bakayım olmuş mu?

Elinize sağlık :) Çok ilginçmiş, sağlam bir şekilde anlamaya çalışıyorum.

Seninki daha iyi ama çünkü büyük teoremler kullanmıyor. Benimki biraz balyozla sinek öldürmeye benziyor.
2 beğenilme 0 beğenilmeme
Anımsatma: Hilbert Nullstellensatz şunu gerektirir. I ve V operasyonları S'nin radikal idealleri ızgarasıyla kn'nin Zariski topolojisi altında kapalı altkümeleri ızgarası arasında büyüklüğü ters çeviren bir izomorfizma tanımlarlar. (Eğer Xkn ise I(X) ile X üzerinde sıfır değeri alan bütün polinomlar anlatılmaktadır. Diğer taraftan IS gibi bir ideal için de V(I) ile I'daki her elemanın sıfırı olan elemanların kümesi anlatılmaktadır.)

Bir tane R diye radikal ideal alalım. X de bu radikal ideale denk gelen kapalı küme olsun. kn Zariski topolojisine göre Noether tipi olduğu için ve X de kn içinde kapalı olduğu için X de Noether tipi bir uzaydır. O halde sonlu sayıda kapalı indirgenemez kümenin birleşimi olarak yazılabilir: C1,,Cr. X kümesi her şeyi kucaklayan kn uzayında kapalı olduğu için Ci'ler kn'de de kapalı kümelerdir. Diğer yandan gösterilebilir ki (çok kolay biçimde) bu kümeler X içinde indirgenemez oldukları için kn içinde de indirgenemezdirler (kn içindeki parçalama X içinde de bir parçalama vereceği için bu doğru). Yani X kümesini kn içinde indirgenemez olan sonlu sayıda indirgenemez C1,,Cr kümeleriyle kapladık. Şimdi Pi ideali Ci'ye denk gelen radikal ideal olsun. Ci indirgenemez olduğu için Pi de asal olmak zorundadır.

Şimdi gelelim zurnanın zırt dediği yere. X kapalı kümesi kapalı kümeler ızgarasında C1,,Cr kümelerinden büyük en küçük elemandır (zira onların birleşimidir). O halde bizim bizim ızgaradaki büyüklük ilişkisini ters çeviren operatörümüz ne yapacak. X'i Ci'lere denk gelen (Pi demiştik bunlara) radikal (burada asallar, ne güzel) ideallerin hepsinden küçük en büyük radikal ideale gönderecek. Peki Pi'lerin içinde kalan en büyük ideal nedir. Tabii ki onların kesişimi. Ama onların kesişi aynı zamanda radikal bir idealdir. O halde Pi'lerin hepsinden küçük en büyük radikal ideal Pi'lerin kesişimidir. O halde bizim I operatörümüz X'i ri=1Piidealine gönderecek. Ama biliyoruz ki I=R. Demek ki iddia doğruymuş. Ne mutlu :)
(3.7k puan) tarafından 

Eh iste, idare eder. Izgaralar iki olsun.

Noether tipi bir topolojik uzayın kapalı altkümelerinin de Noether tipi olduğunu gösterin.

Oğlum sana mı sordum olmuş mu diye, alla alla

ifade ozgurlugu..

Bu ızgaralar arasında tanımlanan ters izomorfizma pek çok yerde var. Bölüm grubunun altgruplarıyla böleni içeren altgruplar ızgaraları arasında mesela. Galois teoride. Ama nedense bu kuvvetli teoremlerin önünü açtığı ızgara metotları pek revaç görmüyor. Ben Milne'in CFT kitabında görmüştüm bu ızgara metotlarının çok faydalı olduğunu.

20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,902 kullanıcı