Anımsatma: Hilbert Nullstellensatz şunu gerektirir. I ve V operasyonları S'nin radikal idealleri ızgarasıyla kn'nin Zariski topolojisi altında kapalı altkümeleri ızgarası arasında büyüklüğü ters çeviren bir izomorfizma tanımlarlar. (Eğer X⊆kn ise I(X) ile X üzerinde sıfır değeri alan bütün polinomlar anlatılmaktadır. Diğer taraftan I⊆S gibi bir ideal için de V(I) ile I'daki her elemanın sıfırı olan elemanların kümesi anlatılmaktadır.)
Bir tane
R diye radikal ideal alalım.
X de bu radikal ideale denk gelen kapalı küme olsun.
kn Zariski topolojisine göre Noether tipi olduğu için ve
X de
kn içinde kapalı olduğu için
X de Noether tipi bir uzaydır. O halde sonlu sayıda kapalı indirgenemez kümenin birleşimi olarak yazılabilir:
C1,⋯,Cr.
X kümesi her şeyi kucaklayan
kn uzayında kapalı olduğu için
Ci'ler
kn'de de kapalı kümelerdir. Diğer yandan gösterilebilir ki (çok kolay biçimde) bu kümeler
X içinde indirgenemez oldukları için
kn içinde de indirgenemezdirler (
kn içindeki parçalama
X içinde de bir parçalama vereceği için bu doğru). Yani
X kümesini
kn içinde indirgenemez olan sonlu sayıda indirgenemez
C1,⋯,Cr kümeleriyle kapladık. Şimdi
Pi ideali
Ci'ye denk gelen radikal ideal olsun.
Ci indirgenemez olduğu için
Pi de asal olmak zorundadır.
Şimdi gelelim zurnanın zırt dediği yere. X kapalı kümesi kapalı kümeler ızgarasında C1,⋯,Cr kümelerinden büyük en küçük elemandır (zira onların birleşimidir). O halde bizim bizim ızgaradaki büyüklük ilişkisini ters çeviren operatörümüz ne yapacak. X'i Ci'lere denk gelen (Pi demiştik bunlara) radikal (burada asallar, ne güzel) ideallerin hepsinden küçük en büyük radikal ideale gönderecek. Peki Pi'lerin içinde kalan en büyük ideal nedir. Tabii ki onların kesişimi. Ama onların kesişi aynı zamanda radikal bir idealdir. O halde Pi'lerin hepsinden küçük en büyük radikal ideal Pi'lerin kesişimidir. O halde bizim I operatörümüz X'i r⋂i=1Piidealine gönderecek. Ama biliyoruz ki I=R. Demek ki iddia doğruymuş. Ne mutlu :)