Kvant dergisi 1985 yılı, lise öğrencileri için matematik sorularından biri

Question

a,b,c,d ve e doğal sayıları $a^4+b^4+c^4+d^4=e^4$ denklemini sağlıyorsa bu sayılardan üçünün çift ,üçünün 5 ile bölündüğünü ve 2 sinin 10 ile bölündüğünü gösteriniz

Answer 1

Kolay durumlarin baslangicini yapayim ilk olarak, aslinda sadece modulo $10$'nu dusunmek daha mantikli:

1) Hepsi tek olamaz. En az bir cift var.
2) Eger $(a,5)=1$ ise $a^4 \equiv 1 \mod 5$. Bu sunu soyler ya hepsi $5$'e bolunur, ya da $e$ ve digerlerinden bir adeti $5$'e bolunmez.
3) Ayrica $\phi(10)=\phi(5)\phi(2)=4$. Bu da en az iki adetinin $10$'a bolundugunu soyler. Adim $1$'i dusunursek tekrar, en az $3$ tanesi $2$'ye bolunmeli. (not: $0^4\equiv 0$, $5^4 \equiv 5$ ve $2^4,4^4,6^4,8^4 \equiv 6$).
4) Burdan da su sonuc cikar: modulo $10$'da $(0,0,5,6;1)$ seklinde olmali. Bu da cevabi veriyor.