İntegralimiz :
$$\int_0^\infty\:\frac{x\ln{x}}{e^x-1}\:dx$$
İntegrali zeta ve gama fonksiyonlarının kısmi türevleri olarak yazabiliriz.Denklemin ispatı için buraya bakılabilir.
$$\zeta(s)\Gamma(s)=\int_0^\infty\:\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\:dx$$
$$\frac{\partial}{\partial{s}}\:\zeta(s)\Gamma(s)=\int_0^\infty\:\frac{x^{s-1}\ln{x}}{e^x-1}\:dx$$
$s$ yerine $2$ koyalım.
$$\lim\limits_{x\to2}\frac{\partial}{\partial{s}}\:\zeta(s)\Gamma(s)=\int_0^\infty\:\frac{x\ln{x}}{e^x-1}\:dx$$
Şimdi türevi alalım.
$$\lim\limits_{x\to2}\:\zeta^{'}(s)\Gamma(s)+\zeta(s)\Gamma^{'}(s)$$
$\Gamma^{'}(s)=\Gamma(s)\psi(s)$ eşitliğini kullanalım.Burada $\psi(x)$ digama fonksiyonu.
$$\zeta^{'}(2)\Gamma(2)+\zeta(2)\Gamma(2)\psi(2)$$
$\zeta^{'}(2)=-\frac{\zeta(3)}{4\pi^2}$ , $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ ve $\psi(2)=1-\gamma$ eşitliklerini kullanalım.($\gamma$ euler-mascheroni sabiti)
$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^\infty\:\frac{x\ln{x}}{e^x-1}\:dx=-\frac{\zeta(3)}{4\pi^2}+\frac{\pi^2(1-\gamma)}{6}\approx-0.242096}}$$