$1^\infty$ neden belirsizdir ?

Question

$\large1^\infty$ neden belirsizdir ?

Answer 1

Burada (ve $\frac00,\ \frac{\infty}{\infty},\ \infty-\infty$ vs durumlarda) kastedilen "belirsizlik" şudur:

$\lim_{x\to a}u(x)=1$ ve $\lim_{x\to a}v(x)=+\infty$ olduğunu bilmek

$\lim_{x\to a}u(x)^{v(x)}$ limitini bulmak için yeterli değildir.

Örnekler: (Hepsinde $\lim_{x\to a}u(x)=1$ ve $\lim_{x\to a}v(x)=+\infty$ )

1. $\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e$
2. $\lim_{x\to +\infty}\left(1-\frac1x\right)^x=\frac1e$
3. $\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac1x\right)^{x^2}=+\infty$
   

Answer 2

Sonsuz diye bir sayı yok, o yüzden $1^{\infty}$ belirsizden ziyade anlamsızdır. Eğer bu ifadeyle anlatılmak istenen $$\lim_{n\rightarrow\infty}1^n$$ise, bu durumda da belirsiz değil, belirlidir ve $1$'e eşittir.

Comments

Hocam o zaman aşağıdaki ifadeler anlamsız mı oluyor ?

$a\in\mathbb{R}$

$\large\frac{a}{\infty},\frac{\infty}{a},\frac{\infty}{\infty},\infty-\infty$

---

Teşekkürler hocam anladım.

---

$\frac{a}{\infty}$ yazarken açıklama yapmak gerek. Sonsuz diye bir sayı yok çünkü. Böyle bir yazım, şöyle bir cümlenin kısaltmasıdır: Payda sonsuza doğru giderken (aslında sonsuz bir yer de değil ama neyse) ve pay sabit kalırken bölüm. Benzer biçim $a$ değil de $\infty$ yazsaydın o da "Payda sonsuza doğru giderken (aslında sonsuz bir yer de değil ama neyse) ve payda da  sonsuza doğru giderken bölüm" diye okunacaktı.

Dikkat edersen, ilk durumda payda ister çok hızlı ister çok yavaş gitsin, pay sabit olduğu için limitin sıfır olduğunu bilmek için ekstra bilgiye gerek yok. Ama ikinci durumda pay paydadan hızlıca artıyorsa limit 1^den büyük eşit, tam tersi durumda da 1'den küçük eşit olacak. Yani buradaki ifade eksik bir ifade. Sonsuza nasıl gittikleri bilgisi yokken ifadenin belirli bir anlamı yok.