$\int_0^\infty\:a^{\large-x^n}\:dx$ integralini çözün

Question

$$\large\int_0^\infty\:a^{\large-x^n}\:dx$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int_0^\infty\:a^{\large-x^n}\:dx$$

$\omega=x\big(\ln(a)\big)^{\frac{1}{n}}$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$\big(\ln(a)\big)^{-\frac{1}{n}}\int_0^\infty\:e^{-\omega^n}\:d\omega$$

$\phi=\omega^n$ olacak şekilde tekrar değişken değiştirelim.

$$\frac{1}{n}\big(\ln(a)\big)^{-\frac{1}{n}}\int_0^\infty\:\phi^{\frac{1}{n}-1}e^{-\phi}\:d\phi$$

İntegrali gama fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$\frac{1}{n}\big(\ln(a)\big)^{-\frac{1}{n}}\underbrace{\int_0^\infty\:\phi^{\frac{1}{n}-1}e^{-\phi}\:d\phi}_{\large\Gamma(\frac{1}{n})}$$

$$\frac{1}{n}\big(\ln(a)\big)^{-\frac{1}{n}}\Gamma\Big(\frac{1}{n}\Big)$$

$$\big(\ln(a)\big)^{-\frac{1}{n}}\Gamma\Big(\frac{n+1}{n}\Big)$$

$$\large\color{#C00000}{\boxed{\int_0^\infty\:a^{\large-x^n}\:dx=\frac{\Gamma\Big(\frac{n+1}{n}\Big)}{\sqrt[n]{\ln(a)}}}}$$