Bir eşitsizlik sorusu

0 beğenilme 0 beğenilmeme
165 kez görüntülendi

$a_1c_1-{b_1}^2\geq 0$ ve $a_2c_2-{b_2}^2\geq 0$ ise, o zaman $(a_1+a_2)(c_1+c_2)-(b_1+b_2)^2\geq 0$ olur.

---

Nesin Matematik Köyü'nde yapılan 'The Gamma Function' isimli dersin içinden küçük bir alıntı.

---

Sondaki ifadeyi açarak bir sonuç elde edilemiyor kanımca. Biz ikinci dereceden formları (quadratic form) kullanarak bir çözüm getirdik.

5, Ağustos, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Enis (1,075 puan) tarafından  soruldu

Ben Cauchy-Schwarz kokusu alıyorum. Bir ara zamanım olunca düşüneyim. Kesin yapamam ama yine Cauchy-Schwarz'a inanıyorum.

zamaniniz olunca bi benimkini kontrol etsenize.

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(a_1c_2)(a_2c_1)\geq(b_1b_2)^2\geq0$. Simdi $a_1c_2,a_2c_1 \geq 0$ diyelim: Carpimi sabit pozitif islemlerin toplamini kucultmek icin yakin tutmamim lazim, yani $a_1c_2+a_2c_1\geq 2b_1b_2$. Bu da bize cevabi veriyor.

Verilen ifade: $(a_1c_1-b_1^2)+(a_2c_2-b_2^2)+(a_1c_2+a_2c_1-2b_1b_2) \geq 0+0+0=0$.

5, Ağustos, 2015 Sercan (23,972 puan) tarafından  cevaplandı
$xy\geq z^2\Rightarrow x+y\geq 2z$
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(a_1+a_2)(c_1+c_2)\geq2(a_1c_1+a_2c_2)$ chebishev ile, eşitliğin sağ tarafının (b_1+b_2)^2 büyük olduğu açık

5, Ağustos, 2015 yavuzkiremici (1,757 puan) tarafından  cevaplandı
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ben bizim kullandığımız hoş çözümden bahsedeyim. $a_1>0$ olduğunu varsayabiliriz. $$a_1x^2+2b_1xy+c_1y^2$$ ifadesi ikinci derecen (quadratic) bir form. $$a_1(a_1x^2+2b_1xy+c_1y^2)=(a_1x+b_2y)^2+(a_1c_1-b_1^2)y^2$$ ifadesi her $x,y$ değeri için sıfırdan büyük, varsayım gereği tabii ki. $a_1>0$ olduğundan $$a_1x^2+2b_1xy+c_1y^2>0$$ eşitsizliğini elde ederiz. Aynı yöntemle $$a_2x^2+2b_2xy+c_2y^2>0$$ olduğunu da gösterebiliriz, demek ki $$(a_1+a_2)x^2+2(b_1+b_2)xy+(c_1+c_2)y^2>0.$$ Diğer yandan bu da ikinci dereceden bir form ve her $x,y$ değeri için sıfırdan büyük. Demek ki bu formun diskriminantı pozitif olamaz! Yani $$4(b_1+b_2)^2-4(a_1+a_2)(c_1+c_2)\leq 0,$$ demek ki $$(a_1+a_2)(c_1+c_2)-(b_1+b_2)^2 \geq 0.$$

9, Ağustos, 2015 Enis (1,075 puan) tarafından  cevaplandı
...