${\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}}$ eşitliğini ispatlayın

Question

${\zeta(s)}$ zeta fonksiyonu ve ${B_{n}}$ , ${n.}$ bernoulli sayısı  olmak üzere :

$${\large\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}\tag{n=1,3,5...}}$$ Eşitliğini ispatlayın.

Answer 1

Zeta fonksiyonunun tanımı :

$${\zeta(k)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^k}}$$

${\zeta(1-k)}$ ifadesini bulmaya çalışalım.

$${\zeta(1-k)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{1-k}}=\sum_{n=1}^\infty n^{k-1}}$$

${n^{k-1}}$ için aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

$${n^{k-1}=\bigg(\frac{d}{d\:t}\bigg)^{k-1}e^{nt}\bigg|_{t=0}}$$

Bu eşitliği kullanalım.

$${\zeta(1-k)=\sum_{n=1}^\infty\bigg(\frac{d}{d\:t}\bigg)^{k-1}e^{nt}\bigg|_{t=0}}$$

Seri yakınsak olduğundan türev ile toplam sembolünün yerini değiştirebiliriz.

$${\zeta(1-k)=\bigg(\frac{d}{d\:t}\bigg)^{k-1} \sum_{n=1}^\infty\:e^{nt}\bigg|_{t=0}}$$

${\sum_{n=1}^\infty\:e^{nt}}$ yerine ${\big(\frac{1}{1-e^t}-1\big)}$ yazabiliriz.

$${\zeta(1-k)=\bigg(\frac{d}{d\:t}\bigg)^{k-1} \bigg(\frac{1}{1-e^t}-1\bigg)\bigg|_{t=0}}$$

Türev aldığımızdan dolayı parantezin içindeki ${1}$'i silelim.

$${\zeta(1-k)=\bigg(\frac{d}{d\:t}\bigg)^{k-1} \bigg(\frac{1}{1-e^t}\bigg)\bigg|_{t=0}}$$

Bernoulli sayıları ile ilgili aşağıdaki eşitlik yazılabilir.

$${\frac{t}{e^t-1}=\sum_{n=1}^\infty B_n\:\frac{t^n}{n!}}$$

Bu eşitliği kullanalım.

$${\zeta(1-k)=\bigg(\frac{d}{d\:t}\bigg)^{k-1} \bigg(-\frac{1}{t}\sum_{n=1}^\infty\:B_n\frac{t^n}{n!}\bigg)\bigg|_{t=0}}$$

$${\zeta(1-k)=\bigg(\frac{d}{d\:t}\bigg)^{k-1} \bigg(-\sum_{n=1}^\infty\:B_n\frac{t^{n-1}}{n!}\bigg)\bigg|_{t=0}}$$

Seriyi bulmaya çalışalım.

Önce $\bigg(\frac{d}{d\:t}\bigg)^{k-1}\:t^{n-1}\bigg|_{t=0}$ ifadesine ${A}$ diyelim ve türevi alalım.

$${A=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-k+1)t^{n-k}\bigg|_{t=0}}$$

Serinin bazı terimlerini yazalım :

$${\underbrace{\bigg(B_1\frac{A}{1!}\bigg)}_{n=1}+\underbrace{\bigg(B_2\frac{A}{2!}\bigg)}_{n=2}+\underbrace{\bigg(B_3\frac{A}{3!}\bigg)}_{n=3}+...+\underbrace{\bigg(B_k\frac{A}{k!}\bigg)}_{n=k}+...}$$

Burada önemli bir nokta var.${n=k}$ haricindeki bütün terimler ${0}$.Çünkü ${A}$ ifadesinin ${n=k}$ haricinde , ${t=0}$ için aldığı değer ${0}$.

$${\zeta(1-k)=-\bigg(B_k\frac{A}{k!}\bigg)\bigg|_{t=0}}$$

$${\zeta(1-k)=-B_k\frac{(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)...(k-k+1)t^{k-k}}{k!}\bigg|_{t=0}}$$

$${\zeta(1-k)=-B_k\frac{(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)...(1)}{k}}$$

$${\zeta(1-k)=-\frac{B_{k}}{k}}$$

${k}$ yerine ${n+1}$ koyalım.

$$\color{red}{\boxed{{\large\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}}}\tag{n=1,3,5...}}$$