${\int_{-\infty}^\infty e^{-a(x+b)^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}}$ eşitliğini ispatlayın

Question

${\Gamma(s)}$ gama fonksiyonu  olmak üzere :

$${\large\int_{-\infty}^\infty e^{-a(x+b)^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}}$$ Eşitliğini ispatlayın.

Answer 1

1) Eger integral $-\infty$'dan $+\infty$'a ise $b$ ile oteleme integrali degistirmez. $b$'den bagimsiz olmasi sasirtici degil, kolaylik olsun diye de $b=0$ alabiliriz.

2) $\sqrt a x=t$ donusumu yaparsak cevap gelir.

Yani: $\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-a(x+b)^2}dx=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx=\frac 1{\sqrt a}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$.

Aslinda yorum yazacaktim da, cevap olmus o ara.