Question

kompleks düzlemde elips ve hiperbolün tanımları ve denklemleri nelerdir ? Denklemleri ispat yöntemiyle bulmamız isteniyor.

Answer 1

Tanım: Elips, düzlemde verilen iki  noktaya  (=elipsin odakları $o_1,o_2$) uzaklıklarının toplamı bir sabit $s>0$ olan  noktalar kümesidir (ya da imgesi bu küme olan  bir-boyutlu bir uzaydan bu düzleme sürekli bir göndermedir). 

Düzlemimiz $\mathbb{C}$,  uzaklık için bir metriğe ihtiyacımız var. Karmaşık düzlemle Öklit metriğini $\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}: d(z_1,z_2):=|z_1-z_2|$ alırsak (buna karmaşık Öklit uzayı denir), bu durum için aradığımız küme şöyle olur: $o_1,o_2\in \mathbb{C},s\in \mathbb{R}^+$ için
$E(o_1,o_2,s):=\{z\in \mathbb{C}\vert  d(z,r_1)+d(z,r_2)=s \}$ yani aranan denklem $|z-o_1|+|z-o_2|=s$'dir.

Tanım: Hiperbol, düzlemde verilen iki  noktaya  (= hiperbolüm odakları $o_1,o_2$) uzaklıklarının farkının mutlak değeri bir sabit $s>0$ olan  noktalar kümesidir.
Aynı şekilde $o_1,o_2\in \mathbb{C},u\in \mathbb{R}^+$ için
$H(o_1,o_2,s):=\{z\in \mathbb{C}\vert | d(z,r_1)-d(z,r_2)|=s \}$ yani denklemi $\vert |z-o_1|-|z-o_2|\vert=s$'dir.

Parabolün denklemini de isterseniz siz yazın.
Tanım: Parabol, düzlemde verilen bir noktaya (=odak  noktası $o$) ve bir doğruya (=doğrultman $l$) aynı uzaklıkta olan noktalar kümesidir.

Tanım: Bir $x$ noktasının bir $A$ kümesine olan uzaklığı $d(x,A):=\text{inf}\{d(x,z)\vert z\in A\}$ 'dır.

Tanım: Karmaşık düzlemde bir doğru (bir gerçel düzleme eşdeğer) $a,b\in \mathbb{C}$ için  $l(a,b):=\{z\in \mathbb{C}\vert$ bir $t\in\mathbb{R}$ için $z=a t+b \}$ diye tanımlanır.

Comments

Tanım(Noktanın kümeye uzaklığı):Bir $x$ noktasının bir A küöesine olan uzaklığı 

$d(x,A):=\inf\{d(x,z)\;|\;z\in\mathbb A\}$ dır(yukardaki tanımın aynısı)

Tanım(Doğru):Karmaşık düzlemde bir doğru (bir gerçel düzleme eşdeğer) a,b\in\mathbb C için $l(a,b):=\{z\in\mathbb C\;|\;$ bir $t\in\mathbb R$ için $z=at+b\}$   dir

Tanım(Parabol):Düzlemde verilen bir odak noktasına ve bir doğruya aynı uzaklıkta olan noktalar kümesidir.

$P(o,l(a,b))=P(o,l):=\{k\in\mathbb C\;|\; d(o,k)=d(k,l)\}$  olur ve,

$|o-k|=\inf\{|k-(at+b)|\quad|t\in\mathbb R\}$    Parabol denklemidir.

---

Peki bu parabol denkemi nasıl $ax^2+bx+c=f(x)$  ($a,b,c\in\mathbb R$) gibi bir denkleme bürünecek?

Veya diğer tanımladıgınız elips ve hiperbol.

---

O şekilde yazılmaları gerekiyor mu ki, bunlar karmaşık düzlemde ($\mathbb{C}$)? Gerekiyorsa neden gerekiyor (ilgili dersin adı: Karmaşık Analiz ya da kendin düşünebilirsin)?

---

reel sistemde tanımlayamadım, komplexde birşekılde tanımladık ama nasıl , 2.dereceden reel katsayılı bir denklem oluşturacağız onu çözemedim.

Answer 2

[fiziksever'e üstün yardımları için teşekkürler]

Tanım(Noktanın kümeye uzaklığı):Bir $x$ noktasının bir A küöesine olan uzaklığı 

$d(x,A):=\inf\{d(x,z)\;|\;z\in\mathbb A\}$ dır(yukardaki tanımın aynısı)

Tanım(Doğru):Karmaşık düzlemde bir doğru (bir gerçel düzleme eşdeğer) $a,b\in\mathbb C$ için $l(a,b):=\{z\in\mathbb C\;|\;$ bir $t\in\mathbb R$ için $z=at+b\}$   dir

Tanım(Parabol):Düzlemde verilen bir odak noktasına ve bir doğruya aynı uzaklıkta olan noktalar kümesidir.

$P(o,l(a,b))=P(o,l):=\{k\in\mathbb C\;|\; d(o,k)=d(k,l)\}$  olur ve,

$|o-k|=\inf\{|k-(at+b)|\quad|t\in\mathbb R\}$    Parabol denklemidir.