x+y+z=0 olduğundan şu eşitlikleri yazarak faydalanalım
x+y=−z
(x+y+z)2=0⟹x2+y2+z2+2(xy+xz+yz)=0
⟹x2+y2+z2=−2(xy+xz+yz)
(x+y)3=−z3⟹x3+y3+3xy(x+y)=−z3⟹x3+y3+z3=−3xy(x+y)
⇒
x3+y3+z3=3.x.y.z (x+y=-z)
binomal teoremde simetri oldugundan kırılma noktasına eşit uzaklıktaki binomal terimleri ortak 2liler şeklinde yazabiliyoruz Örnek linik
bu örnekteki çok alakadar değil ama şunu anlamağa yeter.
(x+y)n binomunda birbirine \binom{n}{n-j}=\binom{n}{j} tarzı eşitliklerden doğan parantezler olucaktır.
(x+y)^n=x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}.y+\binom{n}{2}x^{n-2}.y^2+........+\binom{n}{n-2}x^2.y^{n-2}+\binom{n}{n-1}x.y^{n-1}+y^n
(x+y)^n=x^n+y^n+\binom{n}{1}x.y.(x^{n-2}+y^{n-2})+\binom{n}{2}(x.y)^2.(x^{n-4}+y^{n-4})+........
gibi gibi buradan yola çıkarak
(x+y)^5=x^5+y^5+10(x.y)^2.(x+y)+5(x.y)(x^3+y^3)
(x+y)^7=x^7+y^7+35(xy)^3(x+y)+21(xy)^2(x^3+y^3)+7(xy).(x^5+y^5)
bir köşede dursun (x+y)^5=-z^5 den başlayalım x^3+y^3+z^3=3xyz yi kullanalım
(x+y)^5=-z^5=x^5+y^5+10(xy)^2(-z)+5(xy)(3xyz)=x^5+y^5-5x^2.y^2.z düzenlersek
x^5+y^5+z^5=-5.x^2.y^2.z ve x^3+y^3+z^3=3xyz yi kullanarak (x+y)^7 yi bulalım;
(x+y)^7=-z^7=x^7+y^7-35x^3.y^3.z+21.3.x^3.y^3.z-35.x^3.y^3.z=-7.x^3.y^3.z
\Rightarrow
x^7+y^7+z^7=7.x^3.y^3.z olur.
hatta ilginç birşekilde x+y+z=0 için x^9+y^9+z^9=-9.x^4.y^4.z diyebiliriz
Soruya dönersek http://matkafasi.com/69572/binomal-teoreme-yaklasim-1-soru-degildir bu linkteki
son eşitlikleri yazarsak;
sadece ispatladığım eşitliği kullanıcağım;
x^2+y^2+z^2=-2(xy+xz+yz)
3(x^5+y^5+z^5)=(-1)(5)(xyz)(xy+yz+xz)
3(x^7+y^7+z^7)=1.(7)(xyz)(x^2.y^2+y^2.z^2+x^2.z^2)
bunlara ek şunu bilmeliyiz
(xy+xz+yz)^2=x^2.y^2+x^2.z^2+y^2.z^2+2(xyz)(x+y+z) (x+y+z=0) biliniyor
(xy+xz+yz)^2=x^2.y^2+x^2.z^2+y^2.z^2 olur
yerlerine koyarsak \frac{-2(xy+xz+yz)}{2}.\frac{(-1)(5)(xyz)(xy+yz+xz)}{3.5}=\frac{1.(7)(xyz)(x^2.y^2+y^2.z^2+x^2.z^2)}{3.7}
düzenlersek eşitlik sağlanır. \Box