${\zeta(s)=\prod\limits_{p=asal} \frac{1}{1-p^{-s}}}$ eşitliğini ispatlayın

Question

${\zeta(s)}$ zeta fonksiyonu olmak üzere

$${\large\zeta(s)=\prod\limits_{p=asal} \frac{1}{1-p^{-s}}}$$

Eşitliğini ispatlayın.

Comments

$s>1$ için doğru.

Answer 1

${\zeta(s)}$ ifadesinin ilk bir kaç terimini yazalım.

$${\large\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac {1}{5^s}+\frac{1}{6^s}+...}$$

Şimdi bu eşitliğin her iki tarafını ${\frac{1}{2^s}}$ ile çarpalım.

$${\large\frac{1}{2^s}\zeta(s)=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1} {6^s}+\frac{1}{8^s}+\frac{1}{10^s}+\frac{1}{12^s}...}$$

1.ifadeyi , 2.ifadeden çıkartalım.

$${\large\bigg(1-\frac{1}{2^s}\bigg)\zeta(s)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1} {5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{11^s}...}$$

Bu ifadenin her iki tarafını ${\frac{1}{3^s}}$ ile çarpalım.

$${\large\frac{1}{3^s}\bigg(1-\frac{1}{2^s}\bigg)\zeta(s)=\frac{1} {3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{15^s}+\frac{1}{21^s}+\frac{1}{27^s}+ \frac{1}{33^s}...}$$

Bu ifadeyide 2.ifadeden çıkaralım.

$${\large\bigg(1-\frac{1}{3^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{2^s}\bigg)\zeta (s)=1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\frac {1}{17^s}...}$$

Bu yaptıklarımızı ${\frac{1}{5^s},\frac{1}{7^s},\frac{1}{11^s}...}$ için sonsuza kadar bütün asal sayılar için devam ettirelim.

$${\large...\bigg(1-\frac{1}{11^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1} {7^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{5^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1} {3^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{2^s}\bigg)\zeta(s)=1}$$

Soldaki çarpımları sağ tarafa geçirelim.

$${\large\zeta(s)=\frac{1}{...\bigg(1-\frac{1}{11^s}\bigg)\bigg(1- \frac{1}{7^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{5^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1} {3^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{2^s}\bigg)}}$$

Paydadaki ifadeyi sonsuz çarpım olarak yazalım.

$${\large\zeta(s)=\prod\limits_{p=asal} \frac{1}{1-p^{-s}}}$$

Comments

Sonlu kere yaptığın işlemi sonsuz kere yaparak bitiremezsin. Arada limit alıyorsun, limit alırken açıklama gerekli.

---

Hocam dediğinizi tam olarak anlayamadım.Nasıl yapmam gerekiyor?

---

Teker teker geçirebilirsin. Ama teker teker geçirerek ancak sonlu sayıda geçirme yapabilirsin. Hepsini öbür tarafa atabilmek için bir limit işlemi yapıyorsun. Onu açıklaman gerek.

Answer 2

$$\zeta(s)=1+2^{-s}+3^{-s}+\cdots$$ $$=(1+2^{-s}+4^{-s}+\cdots)\cdot(1+3^{-s}+9^{-s}+\cdots)\cdot \cdots$$ $$= \prod\limits_{p \: asal}\big(\frac 1{1-p^{-s}}\big)$$ .

Ek: $\zeta(s)$ mutlak yakinsak oldugundan toplam siralamasini degistirebiliriz.

Comments

Toplamin siralamasini nasil degistiriyorsun?

---

Terimleri pozitif ve yakınsak olduğu için, ya da mutlak yakınsak olduğu için. Bu sorunun sorulması gerekli..

---

Birinci satırdan ikinci satıra geçebilmek zaten ispatın kendisi. Asıl açıklanması gereken o.

---

Fundemental teorem of "bir sey"di de, neydi? Her sayi asallar carpimi seklinde yazilir falan.

---

Hayır, orada iki tane limit var. Eşitliğin iki tarafı da birer limit. O limitlerin eşit olduğunu göstermen gerekiyor. Sana gönderdiğim Drichlet dosyasında da var :)

---

Utandim simdi (bir an) ya, onu okuyacam bi ara :/ Pazartesi ciktisini alayim.

---

merhaba, abi o dosyayı bana da atabilir misiniz veya limit olayıyla nasıl gösteriliyor biraz bahseder misiniz?