Balon şişirmece sorusu

3 beğenilme 0 beğenilmeme
234 kez görüntülendi

Daha şişirilmemiş balonumuzu, lastiğinin aşağıda verilen eksensel kesitiyle (='Lagrange yay uzunluğu' denilen $s$ değişkeniyle parametrize edilen,  $L$ uzunluğunda bir eğri) tanımlıyoruz. Balon, bu eğriyi silindirik açı değişkeni $\phi$  yardımıyla  $r=0$ etrafında  $2\pi rad$ kadar döndürünce oluşuyor.

$0\leq s\leq L$ için $z_0=z_0(s)$, $r_0=r_0(s)$ türevlenebilir göndermeler ve $r_0(0)=r_0(L)=0$.

Soruya geçmeden önce epeyce varsayımda bulunacağız.

Varsayım 1:
Balonumuz deliksizdir (yukarıda anlatılandan bir basit bağlantılı bölge çıkar) ve asla patlamaz.

Varsayım 2: Deliksiz olduğu için ancak fiziküstü bir biçimde -ama sanki ağızla üfleniyormuş gibi- şişmektedir. (Daha gerçekçi bir yaklaşım için  doi:10.1177/108128650200700506.)

Varsayım 3: Lastiğin kalınlığı balonun hacminin artmasına rağmen azalmaz, her zaman için $d=d_0=d_0(s)$'dir.

$0\leq s\leq L$ için $z=z(s)$, $r=r(s)$ türevlenebilir göndermeler ve $r(0)=r(L)=0$ şişmiş balonun koordinatları olsun.

Tanım: Şekil değiştirme enerjisi yoğunluğu $W$, bir cismin birim hacimde  şeklinin değişmesinden dolayı sahip olduğu enerjidir.

Varsayım 4: Balon lastiği sıkıştırılamaz bir Mooney-Rovlin tipi maddeden yapılmıştır.
Buna göre de şekil değiştirme enerjisi yoğunluğu fonksiyonu şöyledir:
$W:=C_1(\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2-3)+C_2(\lambda_1^2\lambda_2^2+\lambda_1^2+\lambda_3^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2+-3)$

($C_1$ ve $C_2$ gerçekte,  modellenecek her madde için ayrıca ölçülmesi gereken sabitlerdir.) Buradaki uzama oranları $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ için şu bağıntılar geçerlidir ($(\cdot)'\equiv \frac{d\cdot}{ds}$):
$\lambda_3=\frac{1}{\lambda_2\lambda_3}$ ve de dönme yüzeyi özelliğinden ötürü $\lambda^2_1=(r')^2+(z')^2\ \wedge \ \lambda_2^2=\left(\frac{r}{r_0}\right)^2$.

Varsayım 5: $\frac{\partial W}{\partial z}=0$ ve $\frac{1}{r}\frac{\partial W}{\partial r}=\frac{1}{z'}\frac{\partial W}{\partial z'}$ olsun.


Varsayım 6:
İçerisindeki hava basıncı lastiğin her kesimine düzgün bir biçimde uygulanmaktadır. 

Varsayım 7: Normal bir balonla karşılaştırılabilir olması için şu özelliklere sahiptir:

$C_1=3bar, C_2=-0,3bar,$ cm biriminden olmak üzere ${d_0(s)}=1,5\cdot 10^{-2}r_0(s)$; $ r_0(s)=3cn([s-K(\frac{1}{\sqrt{2}})],\frac{1}{\sqrt{2}})$, $z_0=3\sqrt{2}E(\left[ sn([s-K(\frac{1}{\sqrt{2}})],\frac{1}{\sqrt{2}})\right],\frac{1}{\sqrt{2}})$, $L:=2K(\frac{1}{\sqrt{2}})$. $sn(x),cn(x)$: Jacobi elliptik fonksiyonları ve $K(x),E(x)$: birinci ve ikinci türden tam elliptik integral fonksiyonları.

Soru:
Herhangi bir $p$ için , örn. $p=1bar$, balonun şekli nedir?
İpucu:
Gaz basıncı yüzünden sahip olunan ilgili enerji $P:=-\int_{V_{{gaz},şişmiş}} p dV$, toplam şekil değiştirme enerjisi de  $E:=\int_{V_{lastik,şişmiş}} WdV=\int_0^{2\pi}\int_0^L W(z,z',r,r')d_0r_0d\phi ds$ olarak adlandırılsın. Sürekli ortam fiziğinin sanal iş prensibine göre, bir cisim için;  yalnız ve yalnız herhangi  sanal yerinden oynatılma ve/veya şekil değiştirme işlemleri gerçekleştirildiğinde, iç ve dış toplam sanal iş miktarı birbirine eşitse; sistem (kuvvet ve gerilmeler bakımından) dengededir. Yani burada denge halinde $\delta E=\delta P$ geçerlidir.

Ek soru 1:
Balon sanki araba lastiği pompası kullanılıyor gibi şişmeye başlarsa  (yani $p\Rightarrow\infty$ için) hangi şekli alır? Bu sorunun cevabı için neden aynı türevsel denge denklemini kullanabiliriz, demek istediğim buna göre balonun sabit bir $p$ için dengelendiğini varsaymış olmuyor muyuz?

Ek soru 2: Üçüncü varsayımdan vazgeçersek sorunun cevabı ne olur?

23, Temmuz, 2015 Akademik Fizik kategorisinde fiziksever (1,168 puan) tarafından  soruldu
27, Kasım, 2016 Anil tarafından yeniden kategorilendirildi

Ben de bu sorulari dusunuyorum da, o ara balon patlamis oluyor iste.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Matematiğim yetmedi,ayrıca okurken çok heycanlandım ,

3. varsayımdan vazgeçersek hacimsel genişlemeden ötürü balon incelicek  ,sonsuza dek hacim artarsa ,varsayım 1 den ötürü patlamayacağından ve eğer lastik her birim alanda eşit şekilde inceliyorsa ,varsayım sağlandığındaki şekli ile aynı şekildedir .

Şekil değiştirme enerjisinden kasıt balon genişlerkenki kazandığı potansiyel enerji mi?

Ek soru 1 ; Eğer belirli bir hacimde belirli bir kütle kadar var ise termodinamik yasasının da gösterdiği gibi belirli bir süre içerisinde tüm çeperlere ortalama bir vuruş sayısı(basınç) yapar ,eğer bu gaz parçacıkları belirli bir yöne doğru vuruş yaptırmaya zorlanırsa image
ve bu davranış sürekli olursa(pompa sürekli çalışırsa) herhangi anda çekiceğimiz fotoraf soldaki gibi olur(soldaki resim) olur (ismi nedir o şeklin bilemedim) çünkü bernoili akışkanlar basıncı prensibi dolayısıyla üflediğimiz küçük silindirik kısımda kinetik enerji yani parçacıkların hızı daha fazladır bu hızdan dolayı balon orada küçülür(hız artarsa basınç azalır ,gazların vuruş sayısı azalır dolayısı ile çeperde küçülme meydana gelir) bkzkaynak

Sizin verdiğiniz cevaplara nazaran adi bir cevap oldu ,yoruma yazıcaktım ama bir daha göz önüne getiriyim diye cevaplara yazmaya karar verdim.Ve bunun matematiğini anlamak için gereken şeyler nelerdir?

17, Nisan, 2016 Anil (7,670 puan) tarafından  cevaplandı
-Şekil değiştirme enerjisi (ingl. strain energy) balonu genişlemesine yol açan kuvvet ortadan kalktığında onu enerji bakımından en uygun durumuna gitmekten alıkoymak için sarfedilmesi gereken enerji miktarı( cismin potensiyal enerjisinin yalnızca bir bölümü ama evet bu anlamda potensiyal enerjisi).

-Bernoulli İlkesi ile ilgili söylediklerine katılıyorum. Ama soruda bu etki gözardı ediliyor. (Ek soru nerede göremedim.)

-Çözüm salınım/varyasyon hesabı bilmeyi gerektiriyor.
...