Daha şişirilmemiş balonumuzu, lastiğinin aşağıda verilen eksensel kesitiyle (='Lagrange yay uzunluğu' denilen s değişkeniyle parametrize edilen, L uzunluğunda bir eğri) tanımlıyoruz. Balon, bu eğriyi silindirik açı değişkeni ϕ yardımıyla r=0 etrafında 2πrad kadar döndürünce oluşuyor.
0≤s≤L için z0=z0(s), r0=r0(s) türevlenebilir göndermeler ve r0(0)=r0(L)=0.
Soruya geçmeden önce epeyce varsayımda bulunacağız.
Varsayım 1: Balonumuz deliksizdir (yukarıda anlatılandan bir basit bağlantılı bölge çıkar) ve asla patlamaz.
Varsayım 2: Deliksiz olduğu için ancak fiziküstü bir biçimde -ama sanki ağızla üfleniyormuş gibi- şişmektedir. (Daha gerçekçi bir yaklaşım için doi:10.1177/108128650200700506.)
Varsayım 3: Lastiğin kalınlığı balonun hacminin artmasına rağmen azalmaz, her zaman için d=d0=d0(s)'dir.
0≤s≤L için z=z(s), r=r(s) türevlenebilir göndermeler ve r(0)=r(L)=0 şişmiş balonun koordinatları olsun.
Tanım: Şekil değiştirme enerjisi yoğunluğu W, bir cismin birim hacimde şeklinin değişmesinden dolayı sahip olduğu enerjidir.
Varsayım 4: Balon lastiği sıkıştırılamaz bir Mooney-Rovlin tipi maddeden yapılmıştır.
Buna göre de şekil değiştirme enerjisi yoğunluğu fonksiyonu şöyledir:
W:=C1(λ21+λ22+λ23−3)+C2(λ21λ22+λ21+λ23+λ22+λ23+−3)
(C1 ve C2 gerçekte, modellenecek her madde için ayrıca ölçülmesi gereken sabitlerdir.) Buradaki uzama oranları λ1,λ2,λ3 için şu bağıntılar geçerlidir ((⋅)′≡d⋅ds):
λ3=1λ2λ3 ve de dönme yüzeyi özelliğinden ötürü λ21=(r′)2+(z′)2 ∧ λ22=(rr0)2.
Varsayım 5: ∂W∂z=0 ve
1r∂W∂r=1z′∂W∂z′ olsun.
Varsayım 6: İçerisindeki hava basıncı lastiğin her kesimine düzgün bir biçimde uygulanmaktadır.
Varsayım 7: Normal bir balonla karşılaştırılabilir olması için şu özelliklere sahiptir:
C1=3bar,C2=−0,3bar, cm biriminden olmak üzere d0(s)=1,5⋅10−2r0(s); r0(s)=3cn([s−K(1√2)],1√2), z0=3√2E([sn([s−K(1√2)],1√2)],1√2), L:=2K(1√2). sn(x),cn(x): Jacobi elliptik fonksiyonları ve K(x),E(x): birinci ve ikinci türden tam elliptik integral fonksiyonları.
Soru: Herhangi bir p için , örn. p=1bar, balonun şekli nedir?
İpucu: Gaz basıncı yüzünden sahip olunan ilgili enerji P:=−∫Vgaz,şişmişpdV, toplam şekil değiştirme enerjisi de E:=∫Vlastik,şişmişWdV=∫2π0∫L0W(z,z′,r,r′)d0r0dϕds olarak adlandırılsın. Sürekli ortam fiziğinin sanal iş prensibine göre, bir cisim için; yalnız ve yalnız herhangi sanal yerinden oynatılma ve/veya şekil değiştirme işlemleri gerçekleştirildiğinde, iç ve dış toplam sanal iş miktarı birbirine eşitse; sistem (kuvvet ve gerilmeler bakımından) dengededir. Yani burada denge halinde δE=δP geçerlidir.
Ek soru 1: Balon sanki araba lastiği pompası kullanılıyor gibi şişmeye başlarsa (yani p⇒∞ için) hangi şekli alır? Bu sorunun cevabı için neden aynı türevsel denge denklemini kullanabiliriz, demek istediğim buna göre balonun sabit bir p için dengelendiğini varsaymış olmuyor muyuz?
Ek soru 2: Üçüncü varsayımdan vazgeçersek sorunun cevabı ne olur?