${z=F(x,y)}$ yüzeyinin alanı

Question

${x-y}$ ekseninde kapalı bir çizgimiz olsun. ${z=F(x,y)}$ yüzeyinin , bu çizgi üzerine dik izdüşümü ile sınırlanan , ${z=F(x,y)}$ yüzeyinin alanını nasıl bulabiliriz?

Answer 1

Öncelikle, $$F(x,y)=z$$ yüzey denklemini $$G(x,y,z)=F(x,y)-z=0$$ formunda yazalım. 

Yüzeyin alan elemanın $dS$, düzleme izdüşüm alanına $dA$ diyelim. Bu ikisi arasında $$dS=\frac{dA}{\cos \theta}$$ ile verilir. Burada $\theta$ açısı, $dS$ elemanıyla $dA$ elemanı arasındaki açı veyâ eşdeğer olarak yüzeyin o noktadaki normaliyle $\hat k$ vektörü arasındaki açıdır. $\hat k$ burada $z$ yönündeki birim vektörü göstermektedir. O halde $$\cos \theta =\frac{|\nabla G\cdot \hat k|}{|\nabla G|}$$  buluruz. Bunu yukarıda kullanırsak, $$dS=\frac{|\nabla G|}{|\nabla G\cdot \hat k|}\,dx\,dy$$ Geriye izdüşüm bölgesi üzerinden integral almaya kalıyor:   $$S=\int \int\frac{|\nabla G|}{|\nabla G\cdot \hat k|}\,dx\,dy.$$

Comments

Teşekkürler hocam.