riemann integrali, $\lim \frac {1} {n}\displaystyle\sum _{k=1}^{n}f\textstyle\left( \frac {k} {n}\right) =\displaystyle\int _{0}^{1}f\left( x\right) dx$ ispatı

2 beğenilme 0 beğenilmeme
305 kez görüntülendi


25, Eylül, 2015 Lisans Matematik kategorisinde emilezola69 (618 puan) tarafından  soruldu
26, Eylül, 2015 DoganDonmez tarafından düzenlendi

$f$ nin integrallenebilir olduğunu varsaymak gerekir.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Burada sorun şu: sol tarafta $f$ nin sadece rasyonel sayılardaki değerleri var. Yani fonksiyonun irrasyonel sayılardaki değeri hiç göz önüne almıyor. Halbuki, irrasyonel sayılar rasyonel sayılardan daha çok yer kaplıyor (Lebesgue ölçümü çok daha büyük). Fonksiyon integrallenebiliyorsa eşitlik var ispatı çok kısa değil. Fonksiyon integrallenemiyorsa, soldaki limit var olabiliyor. Örnek:

$f(x)=\begin{cases}0\quad x\in\mathbb{Q}\text{ ise}\\1\quad x\notin\mathbb{Q}\text{ ise}\end{cases}$ fonksiyonu için $\displaystyle\lim\frac1n\sum_{k=1}^nf\left(\frac kn\right)=0$ olur ama bu fonksiyon (hiç bir aralıkta) integrallenemez.

3, Ekim, 2015 DoganDonmez (4,142 puan) tarafından  cevaplandı
3, Ekim, 2015 emilezola69 tarafından seçilmiş

teşekkürler. peki, irrasyoneller için bu tarz eşitlikler var mı?

Aslında (soldaki toplamda ufak bir değişklik yapıldığında) her aralıkta anlamlı  bir soru ve cevap her aralıkta aynı. Yorumda belirttiğim gibi: $f$ bu aralıkta integrallenebiliyorsa, formül geçerli. Aksi halde sağ taraf anlamsız ama soldaki limit VAR OLABİLİR.

...