Bir sonsuz oyun

Question

Burak ve Sercan $[0,1]$ kümesi üzerinde sonsuz bir oyun oynamaya karar veriyor. İlk başta bir $A \subseteq [0,1]$ seçiliyor (ve oyuncuların ikisi de bu kümenin ne olduğunu görebiliyor).

Daha sonra Burak bir $b_0 \in \{0,1\}$ sayısı seçerek oyuna başlıyor. Sercan da cevap olarak bir $s_0 \in \{0,1\}$ seçiyor. Oyuncular bu şekilde, $b_i$ ve $s_i$ oyuncuların $i.$ hamlelerinde seçtikleri sayıları belirtmek üzere, sırasıyla her adımda ya 0 ya da 1 seçerek $(0.b_0 s_0 b_1 s_1 b_2 s_2...)_2 \in [0,1]$ sayısını oluşturuyorlar.

(Notasyon: Burada $(0.b_0 s_0 b_1 s_1 b_2 s_2...)_2$, ikilik sistemdeki temsili $0.b_0 s_0 b_1 s_1 b_2 s_2...$ olan gerçel sayıyı belirtiyor.)

Eğer oyun sonunda oluşturdukları sayı $A$ kümesi içerisindeyse oyunu Burak kazanıyor, değilse oyunu Sercan kazanıyor. Kısaca, Burak'ın amacı Sercan'la birlikte oluşturdukları sayıyı oyun sonunda $A$ kümesinin içerisine düşürmek, Sercan'ın amacı da $A$'nın dışında kalmak.

Soru 1: Eğer $A$ kümesi sayılabilir ise Sercan'ın bir kazanma stratejisi olduğunu gösteriniz.

Soru 2: Öyle bir $A$ kümesi bulunuz ki iki oyuncunun da kazanma stratejisi olmasın.

Bonus soru: Eğer $A$ kümesi kapalı bir kümeyse ve Sercan'ın bir kazanma stratejisi yoksa, bu durumda Burak'ın bir kazanma stratejisi olması gerektiğini gösterin.

Comments

İyi olan kazansın.

---

Kümenin bilinmesi ne demek? Seçme aksiyomuyla elde edilmiyor yani küme?

---

Kümenin bilinmesinden kastım iki oyuncunun da kümeyi görmesi. Yani bu bir "perfect information" oyun, oyunculardan birinin diğerine göre daha fazla bilgiye sahip olduğu bir oyun değil. Kümenin nasıl elde edildiği pek önemli değil. Belki açık açık yazabileceğiniz bir kümedir, belki inşa etmek için seçim aksiyomu gerekiyordur. Zaten amacımız farklı farklı senaryolarda kazanma stratejilerinin olup olmadığını tartışmak.