$S\subseteq L\left( S\right)$

Question

$L\left( S\right)$, $S$'nin altuzayı ise $S\subseteq L\left( S\right)$ olduğunu gösterin.

Comments

$S$ ve $L(S)$ dediğimiz nedir?

---

$S$, $V$ lineer uzayının alt kümesi. $L(S)$, $S$ tarafından taranmış(spanned) bir altuzay, verilenler bu kadar. Lineer uzay geçmiyor diye sorunun bu kısmında yazmadım.

---

$S$ tarafından taranmış uzayın tanımlarından bir tanesi şu: $S$'yi içeren en küçük altuzay. Yani sorudaki iddia tanım gereği doğru.

---

<p> teşekkürler, çok sade tanım. kitapta anlayamamıştım.
</p>

---

$S = \{ s_1, \ldots, s_n\}$ olsun. O zaman, $$s_j = 0s_1 + 0s_2+ \ldots + 1s_j+ \ldots + 0s_n$$ Yani, $s_j$ elemani $S$'in elemanlarinin bir lineer kombinasyonu seklinde yazilabilir. (Eger, $S$ sonsuzsa yine sorun degil. Bu tarz sonlu bir toplam al yine). 

Peki, Safak Ozden'in soyledigi sey niye dogru olmali? $L(S)$, nicin $S$'yi iceren en kucuk altuzaydir? Burada iki tane iddia var. Birincisi, $L(S)$ bir altuzaydir; ikincisi $W$, $S$'yi iceren bir altuzay ise $L(S) \subseteq W$ olmalidir. Bunlari kanitlayabilir misin kitabindaki tanimlardan yola cikarak?

---

Şafak'ın dediği için ispata gerek var mı? Zaten tanım o. $L(S)$ denilen şey $S$'i içeren en küçük alt uzay, tabi ilgili uzayın altında.

Başlanması gereken tanım mı farklı?

---

Bazi kitaplar $L(S)$'i $S$'nin butun lineer kombinasyonlarinin kumesi olarak tanimliyorlar. 

---

O zaman bu kitabın tanımından ispatlamamız lazım. O da $1\cdot s_j\in L(S)$ demek olur. Eğer böyle bir soru soruluyorsa dediğin tanımı vermiş olma olasılığı daha muhtemel.

---

Kitap calculus, apostol vol II, bu arada. 

Kitapta verilen tanım:

$S$ boş olmayan, $V$ lineer uzayının bir alt kümesi olsun, $x$ elemanı $V$ deki 

$x=\sum _{i=1}^{k}c_{i}x_{i}$ formunda olan 

$x_1, ... , x_k$ hepsi $S$ de olmak üzere ve $c_1, ... , c_k$ skalar olmak üzere, eleman $x$, $S$'nin elemanlarının sonlu lineear kombinasyonları olarak adlandırılır. $S$'nin elemanlarının sonlu tüm lineer kombinasyonlarının kümesi kapanma (closure) aksiyomunu sağlar. ( bu teorem olarak verilmişti). Buna, $S$ tarafından taranmış altuzay denilir ve $L(S)$ ile gösterilir.

---

Ben kitapta verilen tanımı Türkçeye çevireyim. Belki daha kolay anlaşılır. 

$S$ kümesi $V$ lineer uzayının boş olmayan bir altkümesi olsun. $S$'nin sonlu sayıda elemanının skalerle çarpılıp birbiriyle toplanmasından elde edilen bir elemana $S$'nin elemanlarının sonlu lineer kombiinasyonu denir. Yani $x$ elemanı $S$'nin elemanlarının sonlu lineer kombinasyonu demek herhangi bir $n$ için 

$$x=\sum_{i=1}^n c_i\cdot s_i$$ denklemini sağlayacak $c_1,\cdots,c_n$ skalerleri ve $s_1,\cdots,s_n\in S$ vektörleri bulunabilir demek. $S$ tarafından taranmış uzay da elemanları $S$'nin sonlu lineer kombinasyonları olan kümedir.

---

$L(S)$'nin alt kümesi olmak için linear kombinasyonu olması lazım. linear kombinasyonuysa ve ona ek olarak elemanlar varsa içinde zaten $L(S)$ de olacak ama en küçük olmayacak? en küçük sadece linear kombinasyonlardan oluşan olmalı yani? ama ispat gibi olmadı pek

---

En küçük olması $L(S)$ için verilen şartların $S$'i içeren her altuzay için sağlanmasından kaynaklı. Buna universal property diyorlar galiba. Yani demek istediğim şu, bir alt küme $S$'yi içeriyorsa (içeriyordur) ve altuzaysa içindeki elemanların lineer kombinasyonunu içeriyordur. Yani $L(S)$'i içeriyordur.

---

Universal property demeye hiç gerek yok burada. Yalnızca kafa karıştırır. Bi de illa universal property denecekse o zaman da "$L(S)$ için verilen şartların $S$'yi içeren her altuzay için sağlanmasından" ifadesine değil bunun tersine denebilir: "$S$'i içeren heraltuzay $L(S)$'i de içerir" yani.

---

@Ozgur $S$ nin elemanları, $W$'de de var ve belki daha fazlası çünkü,$S\subseteq W$. $W$ bir alt uzaysa, $S$ deki elemanların lineer kombinasyonlarını içericek, ve belki daha fazlasını, o yüzden $L\left( S\right) \subseteq W$,