$0$ ın $\mathbb{N}$ en küçük elemanı olduğunu kanıtlayınız.

Question

$0$ $\mathbb{N}$ nin en küçük elemanı olduğunu kanıtlayınız.

merhaba, bu kanıtı nasıl yapabiliriz?

şu anda verilen aksiyomlara ulaşma şansım pek yok. o nedenle veremeyeceğim.

Comments

benim düşündüğüm ispat yolu ise şöyle:

$\mathbb{N}$ çarpma altında kapalıdır.

$min \mathbb{N} = a$ olsun.

o halde,

$ 0 \gt a$

fakat $min \mathbb{N} \neq 0$ olursa $\mathbb{N}$ çarpma altında kapalı olmaz.

---

Neden kapalı olmasın ki? Açar mısınız?

---

Aslında bu $\mathbb N$ kümesinin nasıl tanımlandığına bağlı. Meselâ, Peano aksiyomlarına göre her doğal sayının bir ardışığı vardır (2. aksiyom) ve (3. aksiyom) $0$ hiçbir doğal sayının ardışığı değildir. Dolayısıyla $0$, doğal sayılar kümesinin tanımından dolayı en küçük elemanıdır. Yine de isbat edelim. 

$a<0$ $\mathbb N$'de olsun. O halde, $a+1\in \mathbb N$ doğrudur. Zincirleme hâlinde, $a, a+1, a+2, \dots, a+k \in \mathbb N$ devam eder, tâ ki $0$'ın ensesine varana kadar. Fakat $0$ hiçbir sayının ardışığı değildir; yâni hemen öncesinde bir doğal sayı yoktur. Çelişki elde edildi.

---

$-1 \in \mathbb{N}$ olsun.

$-1, 0, 1, 2, ...$ bir $\mathbb{N}$ miz var.

bu durumda, $\mathbb{N}$ çarpma altında kapalı değildir.

$-1\cdot 12 \notin \mathbb{N}$ gibi.

fakat $\mathbb{N}$ çarpma altında kapalıdır. çelişki elde ettik.

söylemek istediklerimi biraz tersten söyledim. $\mathbb{N}$ nin, elimizdeki aksiyomlarla, çarpma altında kapalı olabileceği en küçük alt sınır.

---

Soru üzerine: 1- Doğal sayılar üzerindeki sıralamayı nasıl tanımlıyorsunuz?
2- Aksiyomlara ulaşamıyorsan ispat yapamaman kadar doğal bir şey yok. 

Yorumlar üzerine: 

@Yasin Şale: Neden $0$'a varana kadar ilerleyebiliyoruz?

@yigitsadic: $-1$ ne?

----

Negatif sayılarımız ve dahi çıkartma işlemimiz olmadığı için üyüklük ilişkisini şöyle tanımlayalım (Peano aksiyomlarının toplamayı da veriyor bize): $a\leq b\Leftrightarrow \exists c\in\mathbb{N}, a+c=b$. Şimdi, $n=0+n$ olduğu için $0\leq n, \forall n\in \mathbb{N}$.

---

Aksiyomları bilmeden yaptığın şey ne olur bilmiyorum ama matematik olmaz.

---

Öncelikle, aksiyomları veremediğim için özür dilerim. Kitabım henüz elime geçti. 

$\mathbb{N}$ tanımlanmazdan önce, $\mathbb{R}$ tanımlanıyor. $\mathbb{R}$ nin tümevarımsal altkümelerinin kesişimine $\mathbb{N}$ denir.

$0 \in \mathbb{N}$

eğer $x \in \mathbb{N}$ ise $x+1 \in \mathbb{N}$.

Sonra kitapta, $\mathbb{N}$ nin toplama ve çarpma altında kapalı olduğu ispatlanıyor.

$\mathbb{R}$ nin, "Her a için, $a+b=b+a=0$ eşitliklerini sağlayan bir $b$ vardır." aksiyomunu düşünüp ($\mathbb{N}$ için sadece $a=b=0$ için geçerli) bu aksiyomu sağlayan $0+1=1$ için bir $b$ var olsa ve $b \in \mathbb{N}$ olsa, $\mathbb{N}$ hala çarpma altında kapalı olur mu?

---

@Safak Ozden 

Aksiyomlarım şunlar:

1- 0 doğal sayıdır,

2- Her doğal sayının doğal sayı olan bir ardışığı vardır,

3- 0 hiçbir doğal sayının ardışığı değildir,

4- Eğer $x$'in ardışığı $y$'nin ardışığına eşitse, o hâlde $x=y$'dir,

5- Tümevarım aksiyomu.

2 numaralı aksiyom ilerlememe izin veriyor diye düşündüm. Tabii ki o ardışık olan sayının doğal sayı varsayılması gerektiğini kabul etmiş oldum.