Question

$\sum\limits_{k=0}^nk2^k$ toplamini bulunuz.

Answer 1

Herhangi bir $x$ için $$\sum_{k=0}^n k\,x^k \tag{*}$$ toplamını bulmaya çalışayım. Bilindiği gibi $$\sum_{k=0}^n x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$ eşitliği geometrik seriler için geçerlidir. Bu ifâdeyi $x$'e göre türetelim ve $x$ ile çarpalım: $$\sum_{k=1}^n k\ x^k=x\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right) \tag{**}$$ Dikkat edilirse, serimizi türetince toplamın alt sınırı $1$ arttı. Bizden istenen $(*)$ ifâdesine tamâmen benzetmek amacıyla, $(**)$ ifâdesinde toplamın alt sınırını $0$ yapabiliriz. Zîrâ o terimin değeri $0$'dır toplamaya etki etmez. (Bir etkisi olsaydı, eşitliğin diğer tarafına da aynısını eklerdik) Sonuç olarak, $$\sum_{k=0}^n k\ x^k=x\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right) \tag{$\star$}$$ bulunur. Başlıktaki serinin toplamını bulmak için ise $(\star)$ denkleminde $x=2$ alınır.

Üşenmeden sonucu açıkça yazmaya çalışalım: $$\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)=\frac{-(n+1)x^n}{1-x}+\frac{1-x^{n+1}}{(1-x)^2}=\frac{-(n+1)(1-x)x^n+1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{x^n(nx-n-1)+1}{(1-x)^2}$$ ve toparlarsak: $$\sum_{k=0}^n k\ x^k=\frac{x^{n+1}(nx-n-1)+x}{(1-x)^2}$$

Bu ifâde $x=1$'de çalışır mı? İfâdenin $x\rightarrow 1$ ikenki limiti belirsizdir ($0/0$). İki defa L'Hospital uygulanırsa, $n(n+1)/2$ bulunur ki bu da gerçeklerle uyuşur!

$x=2$ için $$\sum_{k=0}^n k\,2^k=n2^{n+1}-2^{n+1}+2$$ bulunur. 

Answer 2

$1.2+2.4+3.8+4.4+....n.2^n=2+4+4+8+8+8+....+2^n$ $$2+4+8+...2^n$$ $$4+8+...2^n$$ $$8+16+...2^n$$ $$2^n$$ bunlarında formüllerini yazarsak  $$2^{n+1}-2+2^{n+1}-4+2^{n+1}-8.....+2^{n+1}-2^n$$ bununda $$n2^{n+1}-2-4-8-...2^n$$ ve tekrar kuralı yazarak $$n2^{n+1}-(2^{n+1}-2)=(n-1)2^{n+1}+2$$ bulunur