Question

$\sum\limits_{n\in\mathbb Z}a_n$ toplamini nasil yapiyoruz?


Ornegin $$\pi\cot(\pi z)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\frac1{z+k}$$ esitligini nasil soyleyebiliyoruz. 

Eger $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$ olsaydi, $S_0=a_0$, $S_k=S_{k-1}+a_k$  olarak tanimlayip $\lim\limits_{k\to\infty}S_k$ limitine bakardik. Bu durumda toplami nasil yapacagiz?

Comments

Ben soruyu anlayamadım. $a_n$'leri sıralamayla ilgili bir problem mi var?

---

Evet. Yani alt ornekteki $n\geq0$ icin nasil toplayacagimizi biliyoruz. Toplama $a+b$ olarak tanimli. Yani iki elemani bir elemana goturuyor. Yukaridaki ornek icin nasil olacak bu toplama siralamasi.

---

$a_0$, $a_{-1}$, $a_1$, $a_{-2}$, $a_2$, $...$ gibi bir sıralama neden işe yaramıyor?

---

Neden oyle siralayalim? 0,1,2,-1,-2,3,4,-3,-4,... icin farkli bir cevap gelirse? Bize bir siralama verilmemis.

---

Tatmin edici bir cevap yazamayacağım ama ilk aklıma gelen dizilerin sıralı olması gerektiği. $n \in Z$ dediğimizde sıralayamıyor olabilir miyiz?

---

İlgili makalede bununla ilgili bir konvansiyon belirtilmiştir diye tahmin ediyorum. Edilmediyse de aklıma gelen en doğal yol sıfır merkez alıp $[-n,n]$ aralıkları üzerinde toplam alarak limit almak.

Answer 1

Standart tanım $\sum_{n=0}^\infty a_n$ ve $\sum_{n=1}^\infty a_{-n}$ nin yakınsak olması durumunda $\sum_{-\infty}^{+\infty} a_n$ yakınsaktır deriz . Bu durumda $\sum_{-\infty}^{+\infty} a_n=\sum_{n=0}^\infty a_n+\sum_{n=1}^\infty a_{-n}$ olarak tanımlanır.

Burada, hangi sayıda ikiye ayırdığımızın önemli olmadığı kolayca görülür.

Bu tanıma göre $\sum_{-\infty}^{+\infty} a_n$ yakınsak ise 

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{m=-n}^na_m=\sum_{-\infty}^{\infty} a_n$ olur.

(ama karşıtı doğru değil)

Comments

Tabi once ilk dediginiz standart tanim onemli olmali.  Birinci toplama $S$, ikinci toplama $T$ dersek $S+T$ toplamini bulabiliriz. Ondan sonra son cikarimi yapabiliriz.

Ilkini tanim olarak alirsak son cikarimin sonucu tanim olamaz: (tersi dogru degil) $n>0$ ise $a_n=1$ ve $n<0$ ise $n=-1$ ve $a_0=0$ icin En ondaki limit $0$ olmasina ragmen iki parcali toplam iraksak.

Peki tabanin $\mathbb Z$ verilmesi ve siralama verilmemesi $-\infty$'dan $\infty$'a toplam olmasi olarak anlasilmali mi? Bence gayet dogal bir anlama. Bunu da integralde oldugu gibi bir sabit uzerinden ikiye ayirarak cozmemez de dogal. 

---

Taban $\mathbb Z$ verildiginde  beklentim su yonde oluyor: Siralama ne olursa olsun bu toplam yakinsar, biz bunu bildigimizden tabana $\mathbb Z$ yazdik. Bu beklentim dogru mu, yoksa ifade edilen sadece $-\infty$'den $\infty$'a siralamasi mi goz onune alinmali?

---

Elbette ki son çıkarım bir önerme ama ispatı kolay.

Answer 2

$l \leq k \in \mathbb{N}$ olmak uzere $S_{l,k}$ toplamini $$S_{l,k} = \sum_{n = l}^k a_n$$ olarak tanimla. Aradigin toplam $$\lim_{k \to \infty} \lim_{l \to - \infty} S_{l,k}$$ ama bu limitin var olmasi ve $$\lim_{l \to - \infty}\lim_{k \to \infty} S_{l,k}$$ limitine esit olmasi gerekiyor.
Benim anladigim bu.

Ekleme: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$ derken de bunun gibi iki tane limitten bahsediyoruz. Burak'in yaklasimi bu yuzden tehlikeli. $\lim_{n \to \infty} \int_{-n}^n f(x)dx$ limitini alirsan patlayabilirsin. Olmayan integralleri varmis zannedebilirsin.

Comments

@Ozgur peki hangi limiti once alacagim?
$\lim_{l \to -\infty} \lim_{k \to \infty} S_{k,l}$

$\lim_{k \to \infty} \lim_{l \to -\infty} S_{k,l}$

bu ikisi farkli yaratiklar degiller mi ?

---

Evet genelde farkli, ayni olduklari zaman boyle bir seyden bahsedebiliriz. "limitine esit olmasi gerekiyor" kismini ondan yazdim.