Jordan-Chevalley ayrışımı nedir?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
195 kez görüntülendi

Bu ayrışımın Lie cebir teoride Uygulamaları nelerdir?

2, Temmuz, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Handan (1,510 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Sav (Tasvir matrisi):  $C$ bir cisim, $V$, $\mathfrak{A}:=\{v_1,...,v_n\}$ tabanıyla bir $C$ vektör uzayı ve $W$ de $\mathfrak{B}:=\{w_1,...,w_n\}$ tabanıyla bir vektör uzayı olsun. O zaman her bir  doğrusal gönderme  $F:V\rightarrow W$ için
$F(v_j)=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}a_{ij}w_i$
şartını sağlayan biricik bir $A:=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}\in M(m\times n,C)$ matrisi vardır. $M^{\mathfrak{A}}_{\mathfrak{B}}(F):=A$'ye $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ tabanlarına göre tasvir matrisi denir. Ayrıca $(M_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{A}}):\text{Hom}_C(V,W)\rightarrow M(m\times n,C)\rightarrow ,F\mapsto M^{\mathfrak{A}}_{\mathfrak{B}}(F)$ bir eşdönüşümdür.

Kanıt: Doğrusal cebir $\square$
 
Tanım (Karakteristik polinom): $E_n$ $n$ boyutlu birim matris, $V$ n (=sonlu) boyutlu bir $C$-vektör uzayı ve $F:=V\rightarrow V$ $C$-doğrusal olsun. O zaman $F$'nin karakteristik polinomunun tanımı $p_F:=det(M^{\mathfrak{B}}_{\mathfrak{B}}(F)-XE_n)\in K[X]$'dır ($X\in M_n(C)$). 

Tanım (Gen. özuzay):
$V$ yine n boyutlu bir $C$-vektör uzayı, ikili farklı özdeğerleri $\lambda_1,...,\lambda_m\in C$ ve $c_1,...,c_m\in\mathbb{N}$ ($c_1+...+c_m=n$) ile karakteristik polinomu  $p_F=(\lambda_1 -X)^{c_1}\cdots(\lambda_m -X)^{c_m}$  olan $F:V\rightarrow V$ $C$-doğrusal  bir gönderme olsun. O zaman $c_j$'ye $\lambda_j$'nin cebirsel katlılığı, $\text{Göu}(F,\lambda):=\text{çek}((F-\lambda 1\!\!1_V)^{c})$'ye  genelleştirilmiş özuzay ve $g_j:=\text{boy}_C(\text{Göu}(F,\lambda_j))$'ye de  $\lambda_j$'nin geometrik katlılığı denir.

Tanım ($F$-değişmez altuzay):
Bir $U\subset V$ altuzayına, $F(U)\subset U$ olduğunda $F$-değişmez denir.

Teorem (Jordan-Chevalley ayrışımı):
$F:V\rightarrow V$ bir özyapı dönüşümü olsun. O zaman

i)$F_K$ köşelendirilebilir ve $F_N$ üstelsıfır ($C$-doğrusal) özyapı dönüşümler olmak üzere biricik $F:=F_K+F_N$ ayrışımı vardır ve hatta $F_K\circ F_N=F_N\circ F_K$'dir.

ii) $\exists p(X), q(X): F_K=p(F), F_N=q(F)$. Hatta $F_K$, $F_N$ nu durumda $F$ ile değişen bütün özyapı dönüşümleriyle de değişirler.

iii) $A\subset B\subset V$ altuzaylar olsunlar ve $F(B)\subset A$ olsun. O zaman $F_K(B)\subset A$ ve $F_N(B)\subset A$.

Kanıt 1(birkaç ek önbilgi istiyor):  $p_F=(X-\lambda_1)^{c_1}\cdots(X-\lambda_m)^{c_m}$ $F$'nin (özdeğerleri ikili farklı)  karakteristik polinomuysa, $V_i:=\text{Göu}(F,\lambda_i)$ için  $V:=V_1\oplus\cdots\oplus V_m$ $F$-değişmez bir ayrışımdır ve $F_{\vert V_i }$'nin karakteristik polinomu $(X-\lambda_i)^{c_i}$'dir. Şimdi $C[X]$ halkası için çin kalan teoremi'ni kullanarak, ($x\equiv y(mod X)$ demek $x-y\in X$)

$p(X)\equiv \lambda_i(mod(X-\lambda_i)) \forall 1\leq i\leq m$ $(*)$,

$p(X)\equiv 0(mod(X))$ $(**)$

şartlarına uyan bir $p(X)$ polinomunu şöyle bulabiliriz: Aradığımız polinom için $\phi$ burada yazılan gönderme olmak üzere $p(X)\in C[X]: \phi(0)=(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m,0)$ geçerlidir (bir özdeğer sıfırsa sondaki eşleşiğe gerek yok, yani $\phi(0)=(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m$). $\forall 1\leq i\leq m$ için $(X-\lambda_i)^c_i$ ve $X$'in aralarında asal olduğunu gösterebilirsek (bundan sonrasını zaten kendim anlayamadım onun için gösteremiyorum), $\phi(x)=(\lambda_1,0,...,0)$,$\phi(x)=(0,\lambda_2,...,0)$,...,$\phi(x)=(0,...,\lambda_m,0)$'nin ters görüntülerinden $p(X)$ polinomunu bulabiliriz ve $F_N:=X-p(X)$ olsun. O zaman $F_K=p(F)$ ve $F_N=q(F)$'dir.

$F_K, F_N$ $X$'te polinomlar oldukları için hem birbirleriyle hem de bütün $X$'le değişen özyapı dönüşümleriyle de değişirler.

Bütün $F$-değişmez altuzaylar ayrıca $F_K$- ve $F_N$-değişmezdirler.

$(*)\Rightarrow (x_K-\lambda_i 1\!\! 1)_{\vert V_i}=0 ) \forall i$ bu yüzden $M^{\mathfrak{B}}_{\mathfrak{B}}\left((F_K)_{\vert V_i}\right)$ $V_i$ üzerinde tek $\lambda_i$ özdeğerli köşegen matristir ve böylece $F_N:=F-F_K$ tanımına göre üstelsıfırdır.

$(**)$'dan dolayı $F_K$ ve $F_N$ bir sabit terim içermediğinden iii) çıkar.

Biricikliği göstermek için $F=G_K+G_N$ i)-iii)'ü sağlayan başka bir ayrışım olsun. O zaman $F_K-G_K=F_K-G_K$'dir. ii)'ye göre bu özyapı dönüşümleri değişen ve $F \text{ köşegenlenebilir } \leftrightarrow  F \text{ yarıbasit }$ olduğundan sağ taraf üstelsıfırdır. Son olarak sadece sıfır elemanı aynı zamanda üstelsıfır ve yarıbasit olduğundan biriciklik çıkar.$\square$

Kanıt 2 (sadece i) için): Doğrusal cebir (tümevarım,Fitting savı vs.)$\square$

Lie cebirleri teorisindeki uygulaması da sanırım $F\in \mathfrak{gl}(V)$ köşegenlenebilirse, eşleğinin de köşegenlenebilir olmasıymış (ya da genel olarak ayrışımın eşleklere taşınabilinmesiymiş). Bi de doğrusal cebir için bildiğim (o da belki) köşegenleştirmenin genelleştirmesi anlamına geldiği...

26, Ağustos, 2015 fiziksever (1,168 puan) tarafından  cevaplandı
27, Ağustos, 2015 fiziksever tarafından düzenlendi
Teşekkür ediyorum. Gen.özuzay tanımındaki $l_{j}$; $c_{j}$ olacak sanırım.


Düzelttim. Kanıtını da başka bir kaynakdan aktarmaya çalıştım.

Aslında Jordan-Chevalley ayrışımı için i) yeterli. Birde bunların matris diliyle ifadesi var tabii. Uygulamaları da varmış indirdim ama henüz okumadım. Teşekkür ediyorum ve son eklemelerinizi de inceliyorum. Sağolun. 

...