Jordan-Chevalley ayrışımı nedir?

Question

Bu ayrışımın Lie cebir teoride Uygulamaları nelerdir?

Answer 1

Sav (Tasvir matrisi):  $C$ bir cisim, $V$, $\mathfrak{A}:=\{v_1,...,v_n\}$ tabanıyla bir $C$ vektör uzayı ve $W$ de $\mathfrak{B}:=\{w_1,...,w_n\}$ tabanıyla bir vektör uzayı olsun. O zaman her bir  doğrusal gönderme  $F:V\rightarrow W$ için
$F(v_j)=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}a_{ij}w_i$
şartını sağlayan biricik bir $A:=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}\in M(m\times n,C)$ matrisi vardır. $M^{\mathfrak{A}}_{\mathfrak{B}}(F):=A$'ye $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ tabanlarına göre tasvir matrisi denir. Ayrıca $(M_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{A}}):\text{Hom}_C(V,W)\rightarrow M(m\times n,C)\rightarrow ,F\mapsto M^{\mathfrak{A}}_{\mathfrak{B}}(F)$ bir eşdönüşümdür.

Kanıt: Doğrusal cebir $\square$
 
Tanım (Karakteristik polinom): $E_n$ $n$ boyutlu birim matris, $V$ n (=sonlu) boyutlu bir $C$-vektör uzayı ve $F:=V\rightarrow V$ $C$-doğrusal olsun. O zaman $F$'nin karakteristik polinomunun tanımı $p_F:=det(M^{\mathfrak{B}}_{\mathfrak{B}}(F)-XE_n)\in K[X]$'dır ($X\in M_n(C)$). 

Tanım (Gen. özuzay): $V$ yine n boyutlu bir $C$-vektör uzayı, ikili farklı özdeğerleri $\lambda_1,...,\lambda_m\in C$ ve $c_1,...,c_m\in\mathbb{N}$ ($c_1+...+c_m=n$) ile karakteristik polinomu  $p_F=(\lambda_1 -X)^{c_1}\cdots(\lambda_m -X)^{c_m}$  olan $F:V\rightarrow V$ $C$-doğrusal  bir gönderme olsun. O zaman $c_j$'ye $\lambda_j$'nin cebirsel katlılığı, $\text{Göu}(F,\lambda):=\text{çek}((F-\lambda 1\!\!1_V)^{c})$'ye  genelleştirilmiş özuzay ve $g_j:=\text{boy}_C(\text{Göu}(F,\lambda_j))$'ye de  $\lambda_j$'nin geometrik katlılığı denir.

Tanım ($F$-değişmez altuzay): Bir $U\subset V$ altuzayına, $F(U)\subset U$ olduğunda $F$-değişmez denir.

Teorem (Jordan-Chevalley ayrışımı): $F:V\rightarrow V$ bir özyapı dönüşümü olsun. O zaman

i)$F_K$ köşelendirilebilir ve $F_N$ üstelsıfır ($C$-doğrusal) özyapı dönüşümler olmak üzere biricik $F:=F_K+F_N$ ayrışımı vardır ve hatta $F_K\circ F_N=F_N\circ F_K$'dir.

ii) $\exists p(X), q(X): F_K=p(F), F_N=q(F)$. Hatta $F_K$, $F_N$ nu durumda $F$ ile değişen bütün özyapı dönüşümleriyle de değişirler.

iii) $A\subset B\subset V$ altuzaylar olsunlar ve $F(B)\subset A$ olsun. O zaman $F_K(B)\subset A$ ve $F_N(B)\subset A$.

Kanıt 1(birkaç ek önbilgi istiyor):  $p_F=(X-\lambda_1)^{c_1}\cdots(X-\lambda_m)^{c_m}$ $F$'nin (özdeğerleri ikili farklı)  karakteristik polinomuysa, $V_i:=\text{Göu}(F,\lambda_i)$ için  $V:=V_1\oplus\cdots\oplus V_m$ $F$-değişmez bir ayrışımdır ve $F_{\vert V_i }$'nin karakteristik polinomu $(X-\lambda_i)^{c_i}$'dir. Şimdi $C[X]$ halkası için çin kalan teoremi'ni kullanarak, ($x\equiv y(mod X)$ demek $x-y\in X$)

$p(X)\equiv \lambda_i(mod(X-\lambda_i)) \forall 1\leq i\leq m$ $(*)$,

$p(X)\equiv 0(mod(X))$ $(**)$

şartlarına uyan bir $p(X)$ polinomunu şöyle bulabiliriz: Aradığımız polinom için $\phi$ burada yazılan gönderme olmak üzere $p(X)\in C[X]: \phi(0)=(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m,0)$ geçerlidir (bir özdeğer sıfırsa sondaki eşleşiğe gerek yok, yani $\phi(0)=(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m$). $\forall 1\leq i\leq m$ için $(X-\lambda_i)^c_i$ ve $X$'in aralarında asal olduğunu gösterebilirsek (bundan sonrasını zaten kendim anlayamadım onun için gösteremiyorum), $\phi(x)=(\lambda_1,0,...,0)$,$\phi(x)=(0,\lambda_2,...,0)$,...,$\phi(x)=(0,...,\lambda_m,0)$'nin ters görüntülerinden $p(X)$ polinomunu bulabiliriz ve $F_N:=X-p(X)$ olsun. O zaman $F_K=p(F)$ ve $F_N=q(F)$'dir.

$F_K, F_N$ $X$'te polinomlar oldukları için hem birbirleriyle hem de bütün $X$'le değişen özyapı dönüşümleriyle de değişirler.

Bütün $F$-değişmez altuzaylar ayrıca $F_K$- ve $F_N$-değişmezdirler.

$(*)\Rightarrow (x_K-\lambda_i 1\!\! 1)_{\vert V_i}=0 ) \forall i$ bu yüzden $M^{\mathfrak{B}}_{\mathfrak{B}}\left((F_K)_{\vert V_i}\right)$ $V_i$ üzerinde tek $\lambda_i$ özdeğerli köşegen matristir ve böylece $F_N:=F-F_K$ tanımına göre üstelsıfırdır.

$(**)$'dan dolayı $F_K$ ve $F_N$ bir sabit terim içermediğinden iii) çıkar.

Biricikliği göstermek için $F=G_K+G_N$ i)-iii)'ü sağlayan başka bir ayrışım olsun. O zaman $F_K-G_K=F_K-G_K$'dir. ii)'ye göre bu özyapı dönüşümleri değişen ve $F \text{ köşegenlenebilir } \leftrightarrow  F \text{ yarıbasit }$ olduğundan sağ taraf üstelsıfırdır. Son olarak sadece sıfır elemanı aynı zamanda üstelsıfır ve yarıbasit olduğundan biriciklik çıkar.$\square$

Kanıt 2 (sadece i) için): Doğrusal cebir (tümevarım,Fitting savı vs.)$\square$

Lie cebirleri teorisindeki uygulaması da sanırım $F\in \mathfrak{gl}(V)$ köşegenlenebilirse, eşleğinin de köşegenlenebilir olmasıymış (ya da genel olarak ayrışımın eşleklere taşınabilinmesiymiş). Bi de doğrusal cebir için bildiğim (o da belki) köşegenleştirmenin genelleştirmesi anlamına geldiği...

Comments

Teşekkür ediyorum. Gen.özuzay tanımındaki $l_{j}$; $c_{j}$ olacak sanırım.

---

Düzelttim. Kanıtını da başka bir kaynakdan aktarmaya çalıştım.

---

Aslında Jordan-Chevalley ayrışımı için i) yeterli. Birde bunların matris diliyle ifadesi var tabii. Uygulamaları da varmış indirdim ama henüz okumadım. Teşekkür ediyorum ve son eklemelerinizi de inceliyorum. Sağolun.