$\pi$ sayısına yakınsayan artan bir rasyonel sayı dizisi var mıdır?

Question

İrrasyonel sayılar için var olduğunu biliyorum ama $\pi$ sayısı için bulamadım

Comments

Yani ondalık basamaklarını teker teker koyarsak... ya da

https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_formula_for_%CF%80
(a-b)
(a-b)+(c-d)
(a-b)+(c-d)+(e-f)
gibi düşünerek artan dizi yapılabilir.

---

Bu linke bir göz at.

---

O problemdeki gibi bir dizi bulmak için $\pi$ ni ondalık basamaklarını 'bilmek' gerekiyor.

Onun yerine, $\arctan$ fonksiyonunun McLaurin serisinin 1 de $\frac\pi4$ e yakınsamasından yararlanarak, tümevarımla tanımlı diyebileceğimiz (bir sonraki terimi önceki terim(ler)den hesaplanan) bir dizi bulunabilir. (Bu dizi Sercan ın yorumundaki ile aynı dizi. Ben geç farkettim)

Sonsuz basit kesirlerle de hesaplanabilir sanırım.

---

Benim bağlantı bununla alakalı ama şu kısımda benzer geldi: o serinin parça toplamlarını biliyor muyuz? Bilsek pi'nin basamaklarını ordan hesaplardık.

Answer 1

$\pi$'ye yakınsayan şu şekilde bir sonsuz toplam mevcut:

$\pi = 6 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2n)!}{2^{4n+1} (n!)^2 (2n+1)}$

Bu seriden ilham alarak, $N$ doğal sayıları için

$s_N  = 6 \sum_{n = 0}^{N} \frac{(2n)!}{2^{4n+1} (n!)^2 (2n+1)}$

gibi bir kısmı toplamlar dizisi tanımlayalım. Bu dizi bir rasyonel sayı dizisidir, artandır ($s_{N+1} - s_N > 0$ olduğu görülebilir) ve $N \longrightarrow \infty$ iken $\pi$ sayısına yakınsar.