Şunu kullanacağız (G herhangi bir grup olmak üzere):
G/Z(G) devirli (cyclic) bir grup ise G abelyen bir gruptur. (Z(G) nin G nin normal bir alt grubu olduğunu göstermek çok kolay)
Bunu göstermeyi okuyucuya bırakalım (kolay!).
Bundan sonrasında, G sonlu bir grup olsun.
0) |Z(G)|≥|G|2 ise (|G/Z(G)|≤2 olacağından) G/Z(G) devirli, bunun sonucu olarak G Abelyen olur. (Daha genel olarak |Z(G)|≥|G|3 ise de G/Z(G) devirli olur.)
1) G Abelyen olmadığı için, G/Z(G) devirli olamaz, öyleyse |G/Z(G)|≥4 (eşdeğer olarak |Z(G)|≤|G|4) olur.
2) [G,G]⊈Z(G) ise G/Z(G) Abelyen olamaz. Öyleyse |G/Z(G)|≥6 olur. Bu da, |Z(G)|≤|G|6 olması demektir.