$\int_0^1 f(x)\, dx = \int_0^1 xf(x)\, dx = 1$ ise $\int_0^1 f^2(x) \, dx\geq 4$ idir

Question

$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 xf(x) dx = 1$ ise $\int_0^1 f^2(x) \geq 4$ idir
ifadesini ispatlar misiniz lutfen.

Comments

Cauchy-Schwatz integral eşitsizliğinden $\int_0^1 f^2(x) \geq 3$ buluyorum ama $\int_0^1 f(x) = 1 $ koşulunu hiç kullanmıyorum. Bu koşul, minimum değerin $3$ yerine $4$ olmasına neden oluyor olmalı. İlginç bir soru.

Answer 1

$\forall a,b\in\mathbb{R}$ için $\int_0^1(f(x)-ax-b)^2\,dx\geq0$ olur.

Düzenlenip, verilenler yerine konulduğunda:

$\int_0^1(f(x))^2\,dx\geq-\frac{a^2}3-b^2+2a+2b-ab$ elde edilir.

Sağdaki ifade, (kısmi türevleri sıfır yaparak) $a=6,b=-2$ iken maksimum oluyor. Yerine konunca:

$\int_0^1(f(x))^2\,dx\geq 4$ elde edilir.

Comments

Daha "havalı" çözüm:

$<f,g>=\int_0^1f(x)g(x)\,dx$ olmak üzere, $\left(C([0,1],<\,\,>\right)$ (veya $L^2([0,1]$) iç çarpım uzayında $(x^{n-1})_{n=1}^\infty$ bağımsız kümesini Gram-Schmidt yöntemi ile ortonormal bir sisteme dönüştürürsek:
$v_1=1,\,v_2=\sqrt3(2x-1),\cdots$ ortonormal (ve tam) sistemini elde ederiz.
($\left(C([0,1],<\,\,>\right)$ de bu sistemin tam (complete) oluşu, Weierstrass ın, sürekli fonksiyonlara, kapalı ve sınırlı aralıklarda, polinomlar ile düzgün yaklaşılabilmesi teoreminden görülür)
Verilenlerden, ($a_n=<f,v_n>$) $a_1=<f,v_1>=1,\,a_2=<f,v_2>=\sqrt3$ olur.

Fourier serilerindeki gibi, (burada tamlık ("completeness") gerekli) Parseval özdeşliğinden:

$\int_0^1f^2(x)\,dx=<f,f>=\|f\|^2=\sum_{n=0}^\infty|a_n|^2\geq|a_1|^2+|a_2|^2=4$ eşitlik sadece $\int_0^1(f(x)-(6x-2))^2\,dx=0$ (yani hemen hemen her yerde $f(x)=6x-2$ ise) ise sağlanır.