Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
500 kez görüntülendi
Muhendislik ve fizik derslerimde dirac delta fonksiyonu su sekilde verildi bize

Su ozellikleri saglayan foknsiyon olarak verildi:

Rδ(x)dx=1

Rf(x)δ(x)dx=f(0)

Boyle bir fonksiyon var mi gercekten ?
Lisans Matematik kategorisinde (1.6k puan) tarafından  | 500 kez görüntülendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

kısa cevap; böyle bir fonksiyon yoktur. Sorunun biraz uzunca cevabı da şöyle:

  • kn0,
  • Rkn(x) dx=1
  • her ϵ>0 için limn|x|ϵkn(x) dx=0

sağlayan bir fonksiyon dizisi (kn) alın. Örneğin uygun bir c>0 sabiti için kn(x)=cnen2x2 yukarıdaki şartları sağlar. kn'ler n giderken 0 etrafında yoğunlaşır; 0'ın her komşuluğu dışında ise 0'a yakınsar. x0 için kn(x)0. Sanırım pratik düşünen kimseler, bu türden (kn) dizilerinin noktasal limitini δ(x) olarak düşünmüşler.

Her sürekli ve sınırlı f:RR için limnRf(x)kn(x) dx=f(0) eşitliği sağlanır. Yukarıdaki integralde integral ile limit yer değiştirmez; değiştirseydi sizin yazdığınız gösterimi elde ederdik.

İşin matematikçesi, δ bir fonksiyon değil, bir ölçüdür ve şöyle tanımlanır: her AR için δ(A)=00Aδ(A)=10A. δ ölçüsüne göre inşa edilen Lebesgue integrali her f sürekli fonksiyonu için f dδ=f(0) sağlar. Dahası, yukarıdaki şartları sağlayan her (kn) dizisi δ ölçüsüne (C0(R)) Banach uzayının zayıf* (weak*) topolojisinde yakınsar.

(60 puan) tarafından 
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,862,505 kullanıcı