kısa cevap; böyle bir fonksiyon yoktur. Sorunun biraz uzunca cevabı da şöyle:
- $k_n\geq 0$,
- $\int_{\mathbb{R}} k_n(x)\ dx = 1$
- her $\epsilon>0$ için $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{|x|\geq\epsilon} k_n(x)\ dx = 0$
sağlayan bir fonksiyon dizisi $(k_n)$ alın. Örneğin uygun bir $c>0$ sabiti için $k_n(x) = cn e^{-n^2x^2}$ yukarıdaki şartları sağlar. $k_n$'ler $n\to\infty$ giderken $0$ etrafında yoğunlaşır; $0$'ın her komşuluğu dışında ise $0$'a yakınsar. $x\neq 0$ için $k_n(x)\to 0$. Sanırım pratik düşünen kimseler, bu türden $(k_n)$ dizilerinin noktasal limitini $\delta(x)$ olarak düşünmüşler.
Her sürekli ve sınırlı $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ için $$\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}} f(x)k_n(x) \ dx = f(0)$$ eşitliği sağlanır. Yukarıdaki integralde integral ile limit yer değiştirmez; değiştirseydi sizin yazdığınız gösterimi elde ederdik.
İşin matematikçesi, $\delta$ bir fonksiyon değil, bir ölçüdür ve şöyle tanımlanır: her $A\subseteq\mathbb{R}$ için $$\delta(A) = 0 \Leftrightarrow 0\notin A \hspace{15mm} \delta(A) = 1 \Leftrightarrow 0\in A.$$ $\delta$ ölçüsüne göre inşa edilen Lebesgue integrali her $f$ sürekli fonksiyonu için $$\int f\ d\delta = f(0)$$ sağlar. Dahası, yukarıdaki şartları sağlayan her $(k_n)$ dizisi $\delta$ ölçüsüne $(C_0(\mathbb{R}))^{*}$ Banach uzayının zayıf* (weak*) topolojisinde yakınsar.