kısa cevap; böyle bir fonksiyon yoktur. Sorunun biraz uzunca cevabı da şöyle:
- kn≥0,
- ∫Rkn(x) dx=1
- her ϵ>0 için lim
sağlayan bir fonksiyon dizisi (k_n) alın. Örneğin uygun bir c>0 sabiti için k_n(x) = cn e^{-n^2x^2} yukarıdaki şartları sağlar. k_n'ler n\to\infty giderken 0 etrafında yoğunlaşır; 0'ın her komşuluğu dışında ise 0'a yakınsar. x\neq 0 için k_n(x)\to 0. Sanırım pratik düşünen kimseler, bu türden (k_n) dizilerinin noktasal limitini \delta(x) olarak düşünmüşler.
Her sürekli ve sınırlı f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} için \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}} f(x)k_n(x) \ dx = f(0) eşitliği sağlanır. Yukarıdaki integralde integral ile limit yer değiştirmez; değiştirseydi sizin yazdığınız gösterimi elde ederdik.
İşin matematikçesi, \delta bir fonksiyon değil, bir ölçüdür ve şöyle tanımlanır: her A\subseteq\mathbb{R} için \delta(A) = 0 \Leftrightarrow 0\notin A \hspace{15mm} \delta(A) = 1 \Leftrightarrow 0\in A. \delta ölçüsüne göre inşa edilen Lebesgue integrali her f sürekli fonksiyonu için \int f\ d\delta = f(0) sağlar. Dahası, yukarıdaki şartları sağlayan her (k_n) dizisi \delta ölçüsüne (C_0(\mathbb{R}))^{*} Banach uzayının zayıf* (weak*) topolojisinde yakınsar.