kısa cevap; böyle bir fonksiyon yoktur. Sorunun biraz uzunca cevabı da şöyle:
- kn≥0,
- ∫Rkn(x) dx=1
- her ϵ>0 için limn→∞∫|x|≥ϵkn(x) dx=0
sağlayan bir fonksiyon dizisi (kn) alın. Örneğin uygun bir c>0 sabiti için kn(x)=cne−n2x2 yukarıdaki şartları sağlar. kn'ler n→∞ giderken 0 etrafında yoğunlaşır; 0'ın her komşuluğu dışında ise 0'a yakınsar. x≠0 için kn(x)→0. Sanırım pratik düşünen kimseler, bu türden (kn) dizilerinin noktasal limitini δ(x) olarak düşünmüşler.
Her sürekli ve sınırlı f:R→R için limn→∞∫Rf(x)kn(x) dx=f(0) eşitliği sağlanır. Yukarıdaki integralde integral ile limit yer değiştirmez; değiştirseydi sizin yazdığınız gösterimi elde ederdik.
İşin matematikçesi, δ bir fonksiyon değil, bir ölçüdür ve şöyle tanımlanır: her A⊆R için δ(A)=0⇔0∉Aδ(A)=1⇔0∈A. δ ölçüsüne göre inşa edilen Lebesgue integrali her f sürekli fonksiyonu için ∫f dδ=f(0) sağlar. Dahası, yukarıdaki şartları sağlayan her (kn) dizisi δ ölçüsüne (C0(R))∗ Banach uzayının zayıf* (weak*) topolojisinde yakınsar.