Yanlış olduğu bir durum örneği vereyim.
Genellikle $f(x,n)$ yerine $f_n(x)$ kullanılır. Ben de öyle kullanacağım.
$f_n(x)=e^{-nx^2}$ olsun. $\forall x\in\mathbb{R}$ için, $\lim_\limits{n\to\infty}f_n(x)=\begin{cases}1,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}$ olup, limit fonksiyon $0$ da süreksizdir.
Bu nedenle, $\left.\frac{d}{dx}\left(\lim_\limits{n\to\infty}f_n(x)\right)\right|_{x=0}$ yoktur. (Limit fonksiyon $0$ da türevlenemez.)
Oysa, her $n\in\mathbb{N}$ için, $\left.\frac{d}{dx}\left(f_n(x)\right)\right|_{x=0}=0$ olup, $\lim_\limits{n\to\infty}\left(\frac{d}{dx}\left(f_n(x)\right)|_{x=0}\right)=0$ dır.