${x+y\over2}=ab,\ \sqrt{x\cdot y}=ba$ ise $x$ ve $y$ yi bulunuz

Question

$x$ ve $y$, 2 basamaklı doğal sayılar, $a$ ve $b$ ($ab$ ve $ba$ sayılarının) (farklı) basamakları olsun.

${x+y\over2}=ab,\ \sqrt{x\cdot y}=ba$ ise $x$ ve $y$ yi bulunuz.

(Çözümü zor olmayan, güzel bir soru)

Comments

Kök içinde görülen $xy$ sayısı dört basamaklı bir doğal sayı sanıyorum. Yani $xy \neq x\cdot y$ gibi ...

---

Orası çarpım. Soruyu düzelttim.

Answer 1

$ab+ba=11(a+b)$ ve $ab-ba=9(a-b)$ eşitliklerini çarparak $$(ab)^2-(ba)^2=99(a^2-b^2)$$ yazılabilir. Sol yan $x$ ve $y$ türünden ifade edilerek $(x-y) ^2=6^2.11.(a^2-b^2)$ bulunur. Buradan sol tarafın tamkare olması için $a^2-b^2=11$ olmalıdır. $a$ ve $b$ rakam ve $11$ sayısı asal olduğundan $a=6$, $b=5$ olduğu görülür. $$x-y=66$$ ve $$x+y=130$$ eşitliklerinden $x=98$ ve $y=32$ bulunur.