https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201702&t=mat&l=en
C.1401 sorusunun İngilizce'den Türkçe'ye çevirisi.
Pozitif x , y sayıları , x3+y3=x−y denklemini sağlar.
x2+y2 < 1 olduğunu ispatlayınız.
Yorumum şöyle:
(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y) ve (x+y)2=x2+y2+2xy
bu sorunun çözümüne katkısı olabilir mi?
x3<x3+y3=x−y<x den 0<x<1 olduğu elde edilir.
Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliğinden x2=√x⋅x3≤x+x32 ve
y2=√y⋅y3≤y+y32 olur. Toplarsak:
x2+y2≤x+x3+y+y32=x+y+x−y2=x<1 elde edilir.
Elinize sağlık. ilk satırdaki 0<x<1 ifadesi nasıl elde edildi?
x>0 ve x3<x (yani x3−x=x(x−1)(x+1)<0) oluşundan elde ediliyor.