Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
371 kez görüntülendi

f(x)={032<x0 ise1x2+x4+2xdiğer durumlarda olsun.

f10(x)=1 (f nin kendisi ile 10 kez bileşkesi) denkleminin çözümlerinin toplamını bulunuz.

(Harvard MIT Matematik yarışmasında sorulmuş, basit değil ama güzel)

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 371 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

xR için f(x)0 olur.

Bu sorunun cevabını ardarda 10 (hepsi 2. derece) denklem çözerek bulamayız. f nin (bileşke ile ilgili) bir özelliği olmalı.

f nin (0,+) aralığında kesin azalan olduğu aşikar, öyleyse, bu aralıkta 1-1 ve tüm pozitif gerçel değerleri aldığı (sürekli ve limx0+f(x)=+ ve limx+f(x)=0 oluşundan) aşikar.

Önce f yi biraz daha basitleştirelim (bu zorunlu değil ama işi biraz kolaylaştırıyor). Paydayı rasyonelleştirerek

x(32,0] için f(x)=x4+2xx22x olur.

x>0 için f(x)=12(x2+2xx) olur.

f yi (0,+) yi kısıtlayıp tersini bulalım.

y=f(x)=12(x2+2xx)  den

4yx2+4y2x2=0  ve x=y2±y2+y2y

x>0 ise (y>0 olup) x=12(y2+2yy) olur.

Bu da, x>0 için, f2(x)=f(f(x))=x olması (bunu bileşke ile de bulabilirdik ama biraz daha uzun sürerdi) demektir. 

(Bu, f yi, (0,+) aralığına kısıtladığımızda, tersinin kendisi olması demektir) 

Bunun sonucu olarak ( f(x)=0 iken f(f(x))1 oluşundan, f(x)>0 olması gerektiğini kullanarak)

f10(x)=f2(f8(x))=f8(x)==f2(x)=1 olur.

(Son adımda, x in işaretini bilmediğimiz için, daha fazla kısaltma yapamıyoruz)

f(f(x))=1 denkleminden, kolayca, (f(x)>0 olacağı için) f(x)=f(1)=312 olarak bulunur.

a=312 diyelim.

f(x)=a nın tüm çözümlerini  bulmak için a=1x2+x4+2x den

a(x2+x4+2x)=1 den

2ax2+2a2x1=0 olur, kökler toplamı 2a22a=a=132 olur.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Soru ve daha karmaşık bir çözümü Şurada.

20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,922 kullanıcı