Processing math: 20%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
375 kez görüntülendi

f(x)={032<x0 ise1x2+x4+2xdiğer durumlarda olsun.

f10(x)=1 (f nin kendisi ile 10 kez bileşkesi) denkleminin çözümlerinin toplamını bulunuz.

(Harvard MIT Matematik yarışmasında sorulmuş, basit değil ama güzel)

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 375 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

xR için f(x)0 olur.

Bu sorunun cevabını ardarda 10 (hepsi 2. derece) denklem çözerek bulamayız. f nin (bileşke ile ilgili) bir özelliği olmalı.

f nin (0,+) aralığında kesin azalan olduğu aşikar, öyleyse, bu aralıkta 1-1 ve tüm pozitif gerçel değerleri aldığı (sürekli ve lim ve \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 oluşundan) aşikar.

Önce f yi biraz daha basitleştirelim (bu zorunlu değil ama işi biraz kolaylaştırıyor). Paydayı rasyonelleştirerek

x\notin(-\sqrt[3]2,0] için f(x)=\frac{\sqrt{x^4+2x}-x^2}{2x} olur.

x>0 için f(x)=\frac12\left(\sqrt{x^2+\frac2x}-x\right) olur.

f yi (0,+\infty) yi kısıtlayıp tersini bulalım.

y=f(x)=\frac12\left(\sqrt{x^2+\frac2x}-x\right)  den

4yx^2+4y^2x-2=0  ve x=\frac{-y^2\pm\sqrt{y^2+y}}{2y}

\mathbf{x>0} ise (y>0 olup) x=\frac12\left(\sqrt{y^2+\frac2y}-y\right) olur.

Bu da, \mathbf{x>0} için, f^2(x)=f(f(x))=x olması (bunu bileşke ile de bulabilirdik ama biraz daha uzun sürerdi) demektir. 

(Bu, f yi, (0,+\infty) aralığına kısıtladığımızda, tersinin kendisi olması demektir) 

Bunun sonucu olarak ( f(x)=0 iken f(f(x))\neq1 oluşundan, f(x)>0 olması gerektiğini kullanarak)

f^{10}(x)=f^2(f^8(x))=f^8(x)=\cdots=f^2(x)=1 olur.

(Son adımda, x in işaretini bilmediğimiz için, daha fazla kısaltma yapamıyoruz)

f(f(x))=1 denkleminden, kolayca, (f(x)>0 olacağı için) f(x)=f(1)=\frac{\sqrt3-1}2 olarak bulunur.

a=\frac{\sqrt3-1}2 diyelim.

f(x)=a nın tüm çözümlerini  bulmak için a=\frac1{x^2+\sqrt{x^4+2x}} den

a(x^2+\sqrt{x^4+2x})=1 den

2ax^2+2a^2x-1=0 olur, kökler toplamı -\frac{2a^2}{2a}=-a=\frac{1-\sqrt3}2 olur.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Soru ve daha karmaşık bir çözümü Şurada.

20,297 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,726,987 kullanıcı