∀x∈R için f(x)≥0 olur.
Bu sorunun cevabını ardarda 10 (hepsi 2. derece) denklem çözerek bulamayız. f nin (bileşke ile ilgili) bir özelliği olmalı.
f nin (0,+∞) aralığında kesin azalan olduğu aşikar, öyleyse, bu aralıkta 1-1 ve tüm pozitif gerçel değerleri aldığı (sürekli ve limx→0+f(x)=+∞ ve limx→+∞f(x)=0 oluşundan) aşikar.
Önce f yi biraz daha basitleştirelim (bu zorunlu değil ama işi biraz kolaylaştırıyor). Paydayı rasyonelleştirerek
x∉(−3√2,0] için f(x)=√x4+2x−x22x olur.
x>0 için f(x)=12(√x2+2x−x) olur.
f yi (0,+∞) yi kısıtlayıp tersini bulalım.
y=f(x)=12(√x2+2x−x) den
4yx2+4y2x−2=0 ve x=−y2±√y2+y2y
x>0 ise (y>0 olup) x=12(√y2+2y−y) olur.
Bu da, x>0 için, f2(x)=f(f(x))=x olması (bunu bileşke ile de bulabilirdik ama biraz daha uzun sürerdi) demektir.
(Bu, f yi, (0,+∞) aralığına kısıtladığımızda, tersinin kendisi olması demektir)
Bunun sonucu olarak ( f(x)=0 iken f(f(x))≠1 oluşundan, f(x)>0 olması gerektiğini kullanarak)
f10(x)=f2(f8(x))=f8(x)=⋯=f2(x)=1 olur.
(Son adımda, x in işaretini bilmediğimiz için, daha fazla kısaltma yapamıyoruz)
f(f(x))=1 denkleminden, kolayca, (f(x)>0 olacağı için) f(x)=f(1)=√3−12 olarak bulunur.
a=√3−12 diyelim.
f(x)=a nın tüm çözümlerini bulmak için a=1x2+√x4+2x den
a(x2+√x4+2x)=1 den
2ax2+2a2x−1=0 olur, kökler toplamı −2a22a=−a=1−√32 olur.