$x,y$ pozitif gerçel sayılar $\begin{align*} & x^{2}+y\sqrt {xy}=336\\ & y^{2}+x\sqrt {xy}=112\end{align*} $ old.göre $x+y$ kaçtır?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
246 kez görüntülendi

alt alta toplayıp bir yere varamadım.. ben çok uzattım soruyu

26, Ocak, 2017 Orta Öğretim Matematik kategorisinde mosh36 (2,125 puan) tarafından  soruldu
$x^3+y^3=448.(x+y-\sqrt {xy})$

buraya kadar geldim :)

Merhabalar

Ustteki ifadeyi $\sqrt{x}$ alttaki ifadeyi de $\sqrt{y}$ parentezine alip taraf tarafa oranlarsak birseyler cikar mi?

Kolay gelsin

kökx lerle hiç oynamamıştım evet.erdicim ellerinden öper :d

Üniversite giriş sınavına hazırlanan gençlere önerim:

Soru ve seçenekleri  bir arada gözönünde bulundurulmalı, 

hatta önce seçeneklere bakılmalı daha sonra soru okunmalıdır.

x=18,  y=2 alınırsa x+y=20 olur. 

Bu değerlerin her iki eşitliği de sağlayıp sağlamadığına bakılır. 


hocam şıklardan değer vererek gitmemizimi öneriyorsunuz ?.

hatta şöyle anladım.cevap 20 verildiyse.x ve y nin toplamı 20 olacak şekilde değer veriyoruz.tutarsa budur.tutmassa değildir.biraz saçma geldi :)

Gerisi size kalmış:)

şıklar tamsayı ise bu taktik işe yarar diyosunuz yani

tam benlik :D bunu deneyeceğim ama çözemediğim soruda

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$\sqrt x=a\sqrt y$ olsun. ( $a>0$ olur)

Birinci denklem $(a^4+a)y^2=336$ İkinci denklem $(1+a^3)y^2=112$ şekline gelir.

Buradan ($ y^2\neq0$ olduğunu da kullanarak) $a^4+a=3(1+a^3)$ olur ve ($a= -1$ olamayacağı için) $a=3$ olduğu görülür. 

Gerisi kolay.

26, Ocak, 2017 DoganDonmez (3,626 puan) tarafından  cevaplandı

Hocam peki bu ilk satırdaki formun dışında bir formda çözüm olamaz mı? Başka cevapların gelemeyeceğini nasıl garantileriz?

Burada başka çözümler dışlanmıyor. 

Şöyle düşünelim: $(x_0,y_0)$ sistemin herhangi bir çözümü olsun. 

(Çözümün var olduğundan, işlemlerin sonunda bulacağımız,  $x_0=18,y_0=2$ ikilisinin denklemi sağladığı görerek emin olacağız)

(ikisi de pozitif olmak zorunda olduğundan) $a=\sqrt{\frac{x_0}{y_0}}$ olsun.

Denklemlerden,  $a=3$ olması gerektiğini buluyoruz. Değişkenlerden birini yok ederek oluşturduğumuz denklemin tek bir (gerçel) çözümü çıkıyor. Birden çok (pozitif) $a$ değeri bulsaydık veya bir değişkenli denklemimizin  birden çok çözümü olsaydı sistemin birden çok çözümü var olabilecekti.

Anladim hocam, tesekkur ederim.

3 beğenilme 0 beğenilmeme
(iki eşitliği oranlayıp düzenleyelim.)
$$\frac{x^2+y\sqrt{xy}}{y^2+x\sqrt{xy}}=3$$

$$\frac{(y^2-x\sqrt{xy})(x^2+y\sqrt{xy})}{(y^2-x\sqrt{xy})(y^2+x\sqrt{xy})}=3$$

$$\frac{(y^2-x\sqrt{xy})(x^2+y\sqrt{xy})}{y^4-x^3y}=3$$

$$\frac{x^2y^2-x^3\sqrt{xy}+y^3\sqrt{xy}-x^2y^2}{y^4-x^3y}=3$$

$$\frac{-x^3\sqrt{xy}+y^3\sqrt{xy}}{y^4-x^3y}=3$$

$$\frac{\sqrt{xy}(y^3-x^3)}{y(y^3-x^3)}=3$$

$$\frac{\sqrt{xy}}{y}=3$$

$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=3$$

$$x=9y$$

iki denklemden herhangi birinde bu eşitlik uygulandığında (pozitif değerlerin) $x=18$ , $y=2$ olduğu görülecektir.
27, Ocak, 2017 mervekendince (509 puan) tarafından  cevaplandı
Carpip bolerken $y\ne x$ kosulunu koymak gerekiyor. (Zaten olamiyor). Son sadelestirmeden "y=x" de geliyor hatta. Fakat ilk basta $y\ne x$ dersek sonuncusuna gerek kalmaz.
$y=x$  eşitliğini göremedim hocam. İkisinin $0$ olma durumundan mı bahsediyorsunuz?

eline sağlık merve :) teşekkür ederim

rica ederim, iyi çalışmalar.

...