Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
450 kez görüntülendi
1a+1b=32018 eşitliğini sağlayan tüm a,b doğal sayı çiftlerini bulunuz.

2018 yılında, ABD ve Kanada da lisans öğrencilerinin katılabildiği Putnam sınavında sorulmuştur.

(Orta Öğretim Olimpiyatlarında sorulabilecek türden bir soru)
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 450 kez görüntülendi
21009>32018>11009 yazılabilir. Baştaki ve sondaki kesirleri 1/a+1/b şeklinde yazabiliyorum. Bunu yaparken 1/a=1/(a+1)+1/a(a+1) eşitliğini kullandım. Fakat devamı gelmedi.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

EK: Bazı işlem hatalarını düzelttim (teşekkürler alperçay)

Denklemi düzenleyip:

3ab2018a2018b=0 şekline getirelim. (EK : önce her iki tarafı 3 ile çarptıktan sonra) Her iki tarafa da 20182 eklenirse, sol taraf çarpanlara ayrılabiliyor.

(3a2018)(3b2018)=20182=2210092 (1009 bir asal sayıdır.)

Sol taraftaki çarpanlar tamsayı ve ikisi de 1mod4 olduğu için, Aritmetiğin Temel Teoreminden,

3a2018=1, 3b2018=20182 ya da

3a2018=4, 3b2018=10092 ya da,

3a2018=1009, 3b2018=41009 ya da yukarıdaki eşitliklerde, a ile b nin yer değiştirdiği durumlar olmalıdır. 

Bunlar da, bize {a,b}={673,2018×673},{674,1009×337},{1009,2018} çözümlerini verir.

(Biraz daha uzun çözüm:

3ab=2018(a+b) eşitliğinden, önce, a2018b ve b2018a, daha sonra (a<b durumunda) , 1009b elde edilir.

Daha sonra da, b=1009k (kN+) yazıp, olası k ve a,b değerleri bulunur.)

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Burada kanıtlanan teoreme göre 1/a+1/b=m/n denkleminin çözümlerinin olması için  (d1,d2)=1 ,d1|nd2|n, m|d1+d2 olacak şekilde d1,d2 sayıları mevcut olmalıdır. Bu durumda çözümler a=n(d1+d2)md1,   b=n(d1+d2)md2 biçimindedir. Buna göre çözümleri bulmak için 2018 sayısının bölenlerinden aralarında asal ve 3|d1+d2 şartını sağlayan bölen çiftlerini kullanmak  yeterli.

(d1,d2)=(1,2) alındığında a=2018, b=1009

(d1,d2)=(2,1009) alındığında a=1009.337, b=674

(d1,d2)=(1,2018) alındığında a=2018.673, b=673 bulunur.

(3.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,933 kullanıcı