Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
299 kez görüntülendi
Bir nN için zn+(1iz)n=0 ise Imz=12 olduğunu gösteriniz.

Zor değil, rutin bir cebirsel çözümü ve (daha genel olan) güzel bir geometrik çözümü var.
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 299 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

1. Cebirsel çözüm:

Denklemi düzenlersek,

|z|n=|1iz|n elde ederiz.

|z|,|1iz|0 olduğundan, |z|=|1iz| olmalıdır. z=a+ib (a,bR) şeklinde yazalım.

Her iki tarafın karesi alınırsa

a2+b2=(1+b)2+a2 ve bu sadeleştirmelerden sonra, b=12 bulunur.

2. Kısa Geometrik çözüm:

(Önceki gibi) |z|=|1iz| elde ettikden sonra:

|z|=|1iz|=|i||1iz|=|z+i| olur. Bu da, z nin 0 ve i den eşit uzaklıkta olmasına eşdeğerdir.

(Düzlemde) bu iki noktaya eşit uzaklıktaki noktalar (karmaşık sayılar) iki noktayı birleştiren doğru parçasınn orta dikmesi üzerinde bulunurlar, Bu doğru da, Imz=12 doğrusudur.

3. Biraz daha uzun geometrik çözüm:

Denklemden, |z1iz|n=1 olduğunu görüyoruz. Buradan, |z1iz|=1 olduğu, yani, z1iz nin birim çember üzerinde olduğu görülüyor.

w=Tz=z1iz Mobius (Kesirli Lineer) dönüşümünün tersi T1(z)=z1+iz (Mobius) dönüşümüdür.

("Sonsuz" da hesaba katıldığında) Mobius dönüşümleri (düzlemdeki) çemberleri (ve doğruları) çember veya doğruya dönüştürür.

T1, birim çember üzerindeki, i noktasını "sonsuz"a gönderdiği için, birim çemberi bir doğruya dönüşütürür. T1(i)=12i ve T1(1)=12(1i) olduğundan, T1, birim çemberi, Imz=12 doğrusuna dönüştürür. Bu da, T nin Imz=12 doğrusunu birim çembere dönüştürmesine eşdeğerdir.

Sonuç olarak, |z1iz|=1 eşitliğini sağlayan her karmaşık sayı için Imz=12 olur.

 

(6.2k puan) tarafından 
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,848 kullanıcı