1. Cebirsel çözüm:
Denklemi düzenlersek,
|z|n=|1−iz|n elde ederiz.
|z|,|1−iz|≥0 olduğundan, |z|=|1−iz| olmalıdır. z=a+ib (a,b∈R) şeklinde yazalım.
Her iki tarafın karesi alınırsa
a2+b2=(1+b)2+a2 ve bu sadeleştirmelerden sonra, b=−12 bulunur.
2. Kısa Geometrik çözüm:
(Önceki gibi) |z|=|1−iz| elde ettikden sonra:
|z|=|1−iz|=|i||1−iz|=|z+i| olur. Bu da, z nin 0 ve −i den eşit uzaklıkta olmasına eşdeğerdir.
(Düzlemde) bu iki noktaya eşit uzaklıktaki noktalar (karmaşık sayılar) iki noktayı birleştiren doğru parçasınn orta dikmesi üzerinde bulunurlar, Bu doğru da, Imz=−12 doğrusudur.
3. Biraz daha uzun geometrik çözüm:
Denklemden, |z1−iz|n=1 olduğunu görüyoruz. Buradan, |z1−iz|=1 olduğu, yani, z1−iz nin birim çember üzerinde olduğu görülüyor.
w=Tz=z1−iz Mobius (Kesirli Lineer) dönüşümünün tersi T−1(z)=z1+iz (Mobius) dönüşümüdür.
("Sonsuz" da hesaba katıldığında) Mobius dönüşümleri (düzlemdeki) çemberleri (ve doğruları) çember veya doğruya dönüştürür.
T−1, birim çember üzerindeki, i noktasını "sonsuz"a gönderdiği için, birim çemberi bir doğruya dönüşütürür. T−1(−i)=−12i ve T−1(1)=12(1−i) olduğundan, T−1, birim çemberi, Imz=−12 doğrusuna dönüştürür. Bu da, T nin Imz=−12 doğrusunu birim çembere dönüştürmesine eşdeğerdir.
Sonuç olarak, |z1−iz|=1 eşitliğini sağlayan her karmaşık sayı için Imz=−12 olur.